inyectividad

UNIDAD EDUCATIVA “TEODORO GOMEZ DE LA TORRE”
Nombre: Salazar Alex
Curso: 2° BGU “D”
Fecha: 17/12/2014
FUNCIÓN INYECTAVA.-
En matemáticas, una función  es inyectiva si a elementos distintos del conjunto  (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto  (codominio) de. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en elconjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por  no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como  y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función  entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Ejemplo de función inyectiva.-



Definición formal
De manera másprecisa, una función  es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
Si  son elementos de  tales que , necesariamente se cumple .
Si  son elementos diferentes de , necesariamente se cumple 
Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos  y , entre los cuales existe una función inyectiva  tienencardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.
Ejemplos
Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
Lafunción f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces ges inyectiva.
La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, loscuales no tienen relación con ningún valor de x).
El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada poruna línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.
Inyectividad en el espacio euclídeo
Dada una función  diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuando esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición nosuficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

donde:
 es la matriz jacobiana de la función.
 es la función determinante.
Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campovectorial:

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante  si se cumple:

Donde:
, es la clausura topológica del dominio .
Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que  si el dominio  es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere 
1.1.- FUNCIÓNINYECTIVA.
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero...