(IOC) MA1 Matemàtiques II, 3r lliurament: Les fraccions

Institut Obert de Catalunya

MA1 Matemàtiques 1
3r lliurament: Les fraccions
Aquesta unitat aborda el treball amb fraccions. Les fraccions formen el conjunt dels nombres
racionals. Aquest conjunt és una ampliació del conjunt dels nombres enters Z estudiats a la
quinzena anterior.
Al conjunt de nombres racionals se l’anomena amb la lletra Q.
Índex
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.Concepte de fracció
Fraccions equivalents. Fracció irreductible
Reducció de fraccions a comú denominador
Ordenació. Representació gràfica
Suma i resta de fraccions
Producte de fraccions
Divisió de fraccions
Operacions combinades. Prioritat dels operadors
Propietats de les operacions amb fraccions
Annex: solucionari

1. Concepte de fracció
Una fracció esta definida per dos nombresenters a i b i es representa per a/b o

a
.
b

El terme b rep el nom de denominador i indica en quantes parts iguals hem dividit una unitat;
el terme a rep el nom de numerador i indica quantes d'aquestes parts agafem.
El denominador, b, no pot ser igual a zero.
Si parlem de 3/4 d'hora (es llegeix tres quarts d'hora) estem indicant que hem dividit una hora
en 4 parts i hem agafat tresd'elles. Si parlem de 2/5 parts d'un pastís (es llegeix dues
cinquenes parts) estem indicant que hem dividit el pastís en 5 parts iguals i hem agafat dues
parts.
Una gran part de les propietats de les fraccions (els nombres racionals) són una ampliació de
les propietats dels nombres enters comentades al lliurament anterior.

2. Fraccions equivalents. Fracció irreductible
2.1 Fraccions equivalentsContinuant amb l'exemple anterior si dividim un pastís en 10 parts i agafem 4 o dividim el pastís
en 5 parts i agafem 2 parts, el resultat que obtindrem és la mateixa proporció de pastís. Les
fraccions 4/10 i 2/5 son, en principi, diferents però a nivell pràctic podem observar que
defineixen un mateix valor.
Direm, en aquest cas, que les dues fraccions són equivalents i expressarem aquestarelació
amb el signe igual:

4 2
=
10 5

MA1 Matemàtiques 1

-- 1 --

Institut Obert de Catalunya
Existeixen moltes fraccions equivalents a una fracció donada: 4/10, 8/20, 12/30, 16/40 són
algunes de les fraccions equivalents a la fracció inicial 2/5.

2 4
8 12 16
=
=
=
=
= .....
5 10 20 30 40
Totes les fraccions de la forma

2·n
5·n
són equivalents a 2/5 on n ésqualsevol nombre natural.
La propietat que caracteritza l'equivalència de dues fraccions:

a c
=
b d
és que el producte del numerador de la primera per el denominador de la segona (a·d) o a
l'inrevés (c ·b) s'obté el mateix resultat:
a·d=c·b
En l'exemple inicial 4/10 és equivalent a 2/5 ja que 4·5 = 2· 10 = 20

2.2 Simplificació de fraccions
Simplificar una fracció és convertir-la en unaaltra equivalent, més senzilla. Per poder simplificar
una fracció cal que el numerador i denominador tinguin algun factor en comú. Per realitzar la
simplificació es divideix numerador i denominador pel mateix nombre.

Exemples:

a) La fracció 21/35 es pot simplificar ja que el numerador i el denominador són múltiples de 7:
21 7 ⋅ 3 3
=
=
35 7 ⋅ 5 5
b) La fracció 60/84 es pot simplificarperquè el numerador i el denominador tenen més d'un
factor en comú:

60 30 15 5
=
=
=
84 42 21 7
la simplificació es pot realitzar de formar progressiva eliminant en cada pas un dels factors
comuns, com a l'exemple anterior, o en una sola operació:

60 2·2·3·5 5
=
=
84 2·2·3·7 7
eliminant, d'un cop, tots els factors repetits. Prèviament hem fet la descomposició en factors
primers delnumerador i denominador per tal de poder visualitzar quins factors estaven repetits.
Els factors repetits de numerador i denominador correspon al seu màxim comú divisor.

MA1 Matemàtiques 1

-- 2 --

Institut Obert de Catalunya
Exercicis 1:
1.1 Simplifiqueu tot el possible les següents fraccions:
a) 12/15
e) 75/(-125)

b) 21/49
f) 39/169

c) 30/36

d) -33/77

1.2 Respongueu...