iojdios

Bases ordenadas y coordenadas

1. Sean S1 y S2 = {(1, 0, 1), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)} dos bases ordenadas de R3 y sea


1 −1 1
[I]S2 =  0 −2 1 
S1
1 1 1
la matriz de cambio de la base S1 ala base S2
(a) Determine la base S1
Soluci´n:
o
Sea S1 = {u1 , u2 , u3 }. Si la matriz de cambio de base es [I]S2 entonces se tiene:
S1
u1
u2
u3

=
1(1, 0, 1) + 0(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) =(2, 1, 2)
= −1(1, 0, 1) − 2(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) = (4, −1, 0)
=
1(1, 0, 1) + 1(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) = (1, 2, 2)

De donde : S1 = {(2, 1, 2), (4, −1, 0), (1, 2, 2)}
(b) Para α = (1, 2, 3),determine [α]S1
Soluci´n:
o
Si
[α]S1

 
a
= b
c

−→ (1, 2, 3) = a(2, 1, 2) + b(4, −1, 0) + c(1, 2, 2)

−→

−→


−→ [α]S1


3/2
= −1/2
0


 1 = 2a + 4b + c
2 = a − b+ 2c

3 = 2a + 2c
a=

3
2

, b = −1 , c = 0
2

2. Sea β = {(1, 0, −1), (−1, 1, 0), (1, 1, 1)} una base ordenada de R3 y sea µ ∈ R3 tal que:
 
6
[µ]β = −3
2
Encuentre µ.
Soluci´n:o
Si



6
[µ]β = −3 −→ µ = 6(1, 0, −1) − 3(−1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) = (11, −1, −4)
2

3. Sea C = {1, x, x2 } y S2 = {1 + x + x2 , −2 − x + x2 , −1 + x + x2 } dos bases de R2 [x].
Hallar[I]C2 la matriz cambio de base desde S2 a la base C
S
Soluci´n:
o
Las columnas Cj (1 ≤ j ≤ 3) de la matriz [I]C2 son tales que :
S

1 −2
Cj = [uj ]C donde uj ∈ S2 −→ [I]C2 =  1 −1
S
1 1
−1
1 
1

4. Sea V un k − e.v y sea α = {v1 , v2 , · · · , vn } una base ordenada de V. Se define
i

{w1 , w2 · · · , wn } (otra base de V )como wi =

jvj
j=1

(a) Determine [I]α
βSoluci´n:
o
De la definici´n de β se tiene:
o
1

w1 =

jvj = v1 = 1v1 + 0v2 + · · · + 0vn
j=1
2

w2 =

jvj = v1 + 2v2 = 1v1 + 2v2 + 0v3 + · · · + 0vn
j=1
3

w3 =
.
.
.

jvj = v1 +2v2 + 3v3 = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 0v4 + · · · + 0vn
j=1

.
.
.

n

wn =

jvj = v1 + 2v2 + 3v3 + · · · + nvn
j=1




Lo que implica: [w1 ]α = 


1
0
.
.
.





...