IPC Resumen

CAPÍTULO 4

Las Ciencias Formales.

4.1. La matemática: constructos formales y realidad.
Cohen y Nagel advierten que una demostración es una prueba lógica, fáctica de las premisas o
conclusiones involucradas. En lógica, aritmética, geometría, la verdad de las proposiciones no se
demuestra mediante ningún método experimental. Una prueba lógica es un “señalamiento” de las
implicancias entreun conjunto de proposiciones llamadas “AXIOMAS” (que no se demuestran) y
otras preposiciones llamadas “TEOREMAS” (que sí deben demostrarse).
Desde el punto de vista lógico, una demostración puede verse como un argumento cuyas premisas
son los axiomas o postulados, y la conclusión, la conjunción de todos los teoremas deducidos. A
diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólolos “vacíos” teoremas deducidos de los
axiomas son verdaderos, pero no dicen nada acerca del mundo. El epistemólogo español, Jesús
Mosterín (2000) afirma que somos como las arañas, y las teorías de las ciencias formales son
como las redes o telas de araña con las que tratamos de capturar el mundo.
La aplicabilidad de las ciencias formales a la realidad es objeto de discusión filosófica. KarlPopper
(1983) afirma que la creencia en que cualquiera de los cálculos de la aritmética es aplicable a
cualquier realidad es insostenible.
La concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra ya en Aristóteles,
cuando destaca los tres supuestos fundamentales de la ciencia demostrativa: el supuesto de
deducibilidad, el de evidencia y el de realidad. La deducibilidadadmite que la ciencia demostrativa
debe partir de ciertos principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término,
y, por otro lado, deberá partir de los indemostrables o axiomas para demostrar todas las otras
verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas. El supuesto de evidencia exige que los
axiomas sean de tal naturaleza que se los pueda aceptar como verdaderossin demostración.
Las definiciones son las encargadas de declarar unívocamente el ser de las cosas y por ello serian
verdaderas. Estos dos supuestos se admiten junto al supuesto de realidad, puesto que, para
Aristóteles, “ciencia” es siempre “ciencia de la realidad”.
Los Elementos de la Geometría de Euclides, que datan aprox. Del año 300 a.C durante más de dos
mil doscientos años fueconsiderado como el modelo de las ciencias matemáticas y como el espejo
de la exactitud científica. Euclides comienza por definir algunos términos. La primera definición
sostiene:
“Punto es lo que no
tiene partes”.
Y la segunda definición:
“Línea es una longitud
sin anchura”.

Proporciona un grupo de postulados y un grupo de axiomas. Los postulados son los siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.
Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
Con cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar una circunferencia.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que
dos rectos, esas dos rectas prolongadasindefinidamente se cortan del lado en que están
los ángulos menores que dos rectos.

Entre los axiomas se encuentran los siguientes:
“Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí”.
“Si a cosas iguales se le agregan cosas iguales, las sumas son iguales”.
Saccheri (1667-1733) no demostró que la geometría euclideana es contradictoria sino que es
incompatible con otras. Boole y DeMorgan a mediados del siglo XIX, constituyeron un estímulo
para que distintas disciplinas incorporaran desarrollos cada vez más generales. Queda claro que
Euclides no es la última palabra en geometría, como se creyó durante siglos, ya que se pueden
construir nuevos sistemas geométricos empleando axiomas distintos e incluso incompatibles con
los de Euclides. El único problema que el matemático...