iptodo

Tema 4. Cálculo deductivo en 
lógica proposicional
a) Deducción y reglas de inferencia

 

 

“Al igual que cualquier otro arte, la Ciencia de la Deducción
y el Análisis sólo puede dominarse a través del estudio
prolongado y paciente, y no es la vida tan larga como para
que ningún mortal alcance en ello el mayor grado posible
de perfección”
Sherlock Holmes
en Estudio en Escarlata(A. Conan Doyle)

 

 

Qué es una deducción: un juego de lógica
• Se  ha  robado  un  importante  botín.  El  criminal  (o 
criminales) se dio a la fuga en un coche. Scotland Yard 
decide interrogar a tres sospechosos, Andy, Bill y Carl, 
y consigue determinar los hechos siguientes:
• (i)  En  el  robo  no  está  implicada  ninguna  otra  persona 
salvo A, B o C.
• (ii)  C  nunca trabaja  sin  llevar  a  A  (y  es  posible  que 
otros) como cómplice.
• (iii) B no sabe conducir.
¿ES ANDY CULPABLE O INOCENTE?
 
 

Qué es una deducción: un juego de lógica
• En    juegos  como  éste  se  nos  pide  que 
deduzcamos  la  información  que  se  pide  a  partir 
de la información dada.
• En  este  caso  la  información  que  se  pide  es 
determinar si A es culpable.• Veamos un par de modos típicos de razonar para 
intentar resolver el juego:
 

 

Qué es una deducción: un juego de lógica
1) “Supongamos que A es inocente”
2) Dado que C nunca trabaja sin A, si A es inocente, 
C debe ser también inocente
3) Dado  que  el  criminal  huyó  en  coche  y  que  B  no 
sabe  conducir,  B  no  pudo  cometer  el  robo  solo: 
tuvo  que  ir  con  A  o con  C.  Así  que  si  A  y  C  son 
inocentes, B también es inocente.
4) Así  que  si  A  es  inocente,  también  lo  son  B  y  C. 
Pero sabemos que al menos uno es culpable 

5) Por tanto, no puede ser que A sea inocente
 

 

Qué es una deducción: un juego de lógica
1’) Tenemos 3 posibilidades: A, B o C.
2’) Si A lo hizo, A es culpable.
3’)  Si  C  lo  hizo,  lo  hizo  con  A, así  que  A 
también sería culpable en este caso
4’) Si B lo hizo, lo hizo con A o con C:
­si lo hizo con A, A es culpable
­si  lo  hizo  con  C,  entonces  (por  3’)  también 
lo hizo con A, así que A es culpable
5’) Por tanto, A es culpable en cualquier caso 
 

 

Qué es una deducción
•

En  una  deducción  progresamos  a  partir  de  la 
información  conocida,  hasta  alcanzar cierta 
información desconocida que nos interesa obtener

•

La información conocida actúa como las premisas de 
un argumento, y la desconocida como la conclusión

•

Lo que caracteriza que una deducción esté bien hecha 
es  que  cada  paso  que  demos  sea  seguro:  cada  nueva 
información debe seguirse de las anteriores
 

 

Qué es una deducción: Reglas
•

Es  posible captar por  medio de  reglas  los  pasos más 
típicos  que  efectuamos  cuando  llevamos  a  cabo  una 
deducción

•

Si  una  regla  está  bien  elegida,  nos  conducirá  desde 
cierto  enunciado  E  a  otro  E’  que  es  consecuencia 
lógica de E

•

El  proceso  por  el  que  pasamos  de  E  a  E’  es  una 
inferencia  lógica  y  la  regla  que  da  cuenta  de  dicho paso es una regla de inferencia
 

 

Qué es una deducción: Reglas
•

Hay  reglas  que  intentan  captar  el  “modo  natural”  de 
proceder  cuando  razonamos.  Al  sistema  que  se  basa 
en  tales  reglas  lo  llamamos  cálculo  de  deducción 
natural

•

La idea es recoger y sistematizar las reglas informales 
que  aplicamos,  v.g.,  en  razonamientos  como  el  del 
juego

•

Una  vez formuladas  de  manera  abstracta,  podremos 
también  aplicar  las  reglas  a  nuestras  fórmulas  de  L0, 
de  manera  que  podamos  saber  cómo  obtener  unas 
fórmulas a partir de otras
 
 

Reglas de inferencia primitivas
• Vamos a ver un conjunto de reglas de inferencia 
básicas o primitivas para la deducción natural
• Dado que tenemos 5 conectivas, vamos a definir ...