isometriadsada

Preuniversitario Popular Víctor Jara
MATEMÁTICA

CAPÍTULO IX
TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS

2.

ISOMETRIAS I

Luego de aplicar una determinada traslación en el plano cartesiano,
el Δ ABC de vértices A (–4, 2); B (–1, 1) y C (1,5) se transforma en el
Δ A 'B'C' . Si sabemos que la abscisa de A’ es 1 y la ordenada de B’
es –3, ¿cuáles son las coordenadas de C’?
A)
B)
C)
D)
E)

1.TRASLACIONES

(2, 2)
(6, 1)
(6, 3)
(-1, 4)
(5, -4)

Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea
recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza
siguiendo una determinada dirección, sentido y distancia, por lo que
toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector de
traslación”.

Ejemplo 1, alternativa D. Solo el helicópteropuede realizar movimientos

OBSERVACIONES

Ejemplo 2, correcta es la B. El vector de translación es (5,-4) si este se

1º Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como
angulares.
2º Una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal
no varía.
3º No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es
posible resumirlas en una única.
EJEMPLOS1.

Los puntos A, B, C, D y E de la figura 1, están en un mismo plano.
¿Cuál de los siguientes aparatos puede moverse siguiendo una
trayectoria como la señalada en la figura y efectuando solamente
traslaciones?
A) Un barco
B) Un avión
C) Una auto
D) Un helicóptero
E) Todos los anteriores

Respuestas:

en ángulo recto sin rotar, en las translaciones los objetos NO ROTAN.

aplicaal punto C (simplemente se suman
correspondientes, de obtiene el punto (6,1)

las

coordenadas

ROTACIONES
Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los
puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un
centro y un ángulo bien determinados, por lo que toda rotación queda
definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación
seefectúa en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se
dice que la rotación es positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice
que la rotación es negativa u horaria.
OBSERVACIONES
1. Una rotación con centro P y ángulo de giro α, se representa por
R ( P, α ) . Si la rotación es negativa se representa por R ( P, − α ) .
2.

Si rotamos el punto ( x , y ) con respecto alorigen O ( 0, 0 ) en un
ángulo de giro de 90º, 180º, 270º, 360º, las coordenadas de los
puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.

Punto Inicial

R (0, 90º)

R (0, 180º)

R (0, 270º)

R (0, 360º)

( x, y )

(−y , x)

( −x, − y )

( y , − x)

( x, y )

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EJEMPLOS
1. Mediante una rotación de centro O y ángulo degiro adecuado, la
figura sombreada ocupa la posición punteada. Esto se verifica en

EJERCICIOS DE TRANSALACIONES Y ROTACIONES
1.
A)
B)
C)
D)
E)

2.
2. Al rotarlo en 180º y con centro en el origen de coordenadas, el
romboide ABCD de la figura 2 se transforma en el romboide de la
alternativa.

En la figura 2, ¿cuáles de los cuadriláteros numerados son una
traslación delcuadrilátero sombreado?
A)
B)
C)
D)
E)

3.

Al aplicar una traslación a la figura 1, se obtiene
p
q
r
t
s

4, 14 y 10
6, 8 y 12
6, 10 y 12
10, 12 y 14
1, 6 y 14

En la plano cartesiano luego de aplicar la traslación T1 ( −8, 1) al
triángulo ABC de vértices A (14, 3), B (16, 0) y C (16, 0) se transforma
en el Δ A 'B'C' ; y a éste se le aplica T2 ( −5, 1) obteniéndose el
Δ A ''B''C''cuyo vértice B '' es

Respuestas:
Ejemplo 1, alternativa D, todas las otras figuras no se pueden
superponer por rotación sobre el punto O
Ejemplo 2, alternativa E, la rotación en 180° deja a la figura en el
cuadrante inferior derecho (descarta alternativa D). Los puntos A y B
quedan más cerca del eje X, los puntos D y C más lejos (eso descarta
alternativas A y C). Hay que identificar que...