Isometrias

¿Que es isometría?
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida.
Por definición tenemos que una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva la distancia entre los puntos.

Una isometría es un tipo especial de aplicación lineal: es una aplicación lineal que "mueve lascosas rígidamente". Precisamente, una aplicación lineal f de un espacio vectorial V en V es una isometría cuando, para cualesquiera vectores u, v de V, se cumple que = (trataremos siempre con el producto escalar usual). Como se ha visto en teoría, esto significa que una isometría no "deforma" las cosas; puede girarlas en torno a un punto o una recta, reflejarlas, o las dos cosas a la vez, pero nopuede, por ejemplo, "aplastarlas".
Otra definición nos dice que isometría es un tipo de proyección en tres dimensiones en el que todos los planos principales están dibujados paralelamente a los correspondientes ejes y en escalas de magnitud real; generalmente las horizontales están dibujadas a 30 grados de la normal del eje horizontal y las verticales permanecen paralelas a la normal del ejevertical.
¿Qué es una transformación isométrica?
Son transformaciones de figuras en el plano que se realizan, en las que ni las dimensiones ni el área de las figuras varían, por lo que la figura inicial es semejante a la final y geométricamente son congruentes.
Una transformación isométrica es aquella que no modifica las medidas del objeto sobre el cual actúa, es decir, no cambia ni la forma nisu tamaño.
¿Cuales son los tipos de isometría plana y sus aplicaciones en la matemática?
Tenemos que una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva la distancia entre los puntos.
Hay tres tipos de isometrías en el plano:
• Traslación
• Rotación
• reflexión
Traslación
Se llama traslación de vector a la isometría que a cada punto m del plano lehace corresponder un punto m' del mismo plano tal que mm' es igual a v.
Las traslaciones están marcadas por tres elementos: La dirección, si es horizontal, vertical, oblicua, derecha, izquierda, arriba y abajo. Y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuanto se desplazó la figura en una unidad de medidas. Esto hace referencia exclusivamente a las traslaciones isométricas.
Isometríadeterminada por un vector. La traslación tiene dirección, que puede ser horizontal, vertical u oblicua; sentido, que puede ser derecho, izquierdo, arriba y abajo; y magnitud, que es la distancia entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura.
Veamos un ejemplo:


Rotación
Una rotación, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de formaque, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación.
Pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el girocuando sea en sentido de las manecillas.
Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo, denominado centro de rotación. La cantidad de giro lo llamaremos ángulo de rotación.
Observemos:



Reflexión
Reflexión o simetría axial, consiste en darle la vuelta al motivo (giro espacial de 180º alrededor de una recta), o, equivalentemente, reflejarloen un espejo (eje de reflexión).
Es una simetría que está determinada por una recta llamada eje de simetría.




La parte que está a la derecha del eje y es exactamente igual que la que está a la izquierda del mismo eje, por lo tanto, el eje y, es decir, el eje de las coordenadas, corresponde al eje de simetría.
La distancia de A a al eje y es igual a de la A´ al...