Isotopos de la ingenieria civil

T1: Espacio Vectorial Real
Fundamentos Matem´ticos de la Ingenier´ I a ıa Curso 2010-2011

1.
1.1.

Espacios vectoriales. Bases
Definici´n y ejemplos o

Definici´n 1 Llamaremos espacio vectorial real (o R-espacio vectorial) a un o conjunto V dotado de dos operaciones: 1. + : V × V −→ V , que a un par (u, v) ∈ V × V le asigna el elemento de V que denotamos u + v, y 2. · : R × V −→ V , quea cada par (λ, v) ∈ R × V le asigna el elemento de V que denotamos λ · v o, simplemente, λv. Estas dos operaciones deben satisfacer las siguientes propiedades: (a) + es conmutativa: u + v = v + u para cualesquiera u, v ∈ V , (b) + es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) para cualesquiera u, v, w ∈ V , (c) + posee elemento neutro, denotado 0, tal que u + 0 = 0 + u = 0 para todo u ∈ V , − → − →(d) todo elemento u ∈ V posee un sim´trico −u ∈ V tal que u + (−u) = 0, e (e) λ(u + v) = λu + λv para todo u, v ∈ V y para todo λ ∈ R, (f) (λ + µ)u = λu + µu para todo u ∈ V y para todo λ, µ ∈ R, 1

(g) (λµ)u = λ(µu) para todo u ∈ V y para todo λ, µ ∈ R, (h) 1R u = u para todo u ∈ V . Los elementos v de un espacio vectorial V se llaman vectores del espacio V . A los elementos λ de R les llamamosescalares. Ejemplos 2 Dos espacios vectoriales muy importantes son los siguientes: (a) El conjunto Rn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R , i = 1, . . . , n}, sobre el que definimos dos leyes de composici´n u operaciones: una ley de composici´n o o interna (suma o adici´n) o (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) , y una ley de composici´n externa (producto de un n´mero real por un o u n elemento de R ), λ (x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ) , ∀ λ ∈ R.

Con estas dos operaciones, es f´cil comprobar que Rn tiene estructura de a espacio vectorial real. (b) El conjunto Mm×n (R) = Rm×n de las matrices reales de orden m × n. Sobre este conjunto, consideramos dos operaciones: la suma de matrices y el producto de una matriz por un escalar. Con estasoperaciones, Rm×n tiene estructura de espacio vectorial real. Nota 3 Para que un conjunto tenga estructura de espacio vectorial, es condici´n necesaria que tenga elemento neutro para la suma. As´ en los ejemplos o ı, n anteriores, el vector (0, . . . , 0) es el neutro de R y la matriz nula de orden m × n es el neutro para la suma de matrices en Rm×n . Ejemplos 4 Dentro de Rn , hay conjuntos que (con lasleyes suma y producto por un escalar de Rn ) son espacios vectoriales y otros que no. As´ por ejemplo: ı (a) El conjunto U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 1} no es un espacio vectorial. (b) El conjunto V = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} es un espacio vectorial. (c) El conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +2y = 0} no es un espacio vectorial. 2

Proposici´n 5 (Propiedades b´sicas) En todo espacio vectorial V, dao a dos u, v, w ∈ V y λ ∈ R, se verifica: u + w = v + w =⇒ u = v λ0 = 0 0v = 0 (−1)v = −v λv = 0 =⇒ λ = 0 ∨ v = 0

1.2.

Dependencia e independencia lineal

Definici´n 6 Dado V un R-espacio vectorial, y dado v ∈ V , diremos que v o es combinaci´n lineal del conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vm } ⊂ V si existen o escalares α1 , α2 , . . . , αm ∈ R tales que: v = α1 v1 + α2 v2 + · ·· + αm vm . Definici´n 7 Dado el conjunto de vectores {u1, u2 , . . . , um } ⊂ V , con m > o 1, diremos que: Son linealmente dependientes (o que forman un sistema ligado) si al menos uno de ellos es combinaci´n lineal de los restantes. o Son linealmente independientes (o que forman un sistema libre) en caso contrario. Por convenio, el conjunto {v} es linealmente independiente si v = 0 y dependientesi v = 0. Ejemplos 8 (a) El sistema {(1, 2), (3, −4), (0, 2)} de R2 es ligado. (b) El sistema {(1, 2), (0, 0)} de R2 es ligado. (c) El sistema {(1, 2, 0), (1, 0, 0)} de R3 es libre. Algunas propiedades inmediatas son: 3

1. Cualquier conjunto que contenga al vector nulo es linealmente dependiente. 2. Si M es un conjunto linealmente dependiente y M ′ ⊇ M, entonces M ′ es tambi´n linealmente...