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Instituto tecnológico de Cd. Madero

Unidad 4

Algebra lineal

Alumno: Fabián Alejandro Vega González

7:00 – 8:00 pm

No. De control: 12071632




4.1 Espacio vectorial y sus propiedades
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) yuna operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío,dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:


operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir


2) tenga la propiedad asociativa, es decir


3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutrodel producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:
  

Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean  y  dos vectores neutros, entonces:
   
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean  y  dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
   
Unicidad del elemento  en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean  y  dos unidades, entonces:
   
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso  de a, no es único, es decir, sean  y  dos opuestos de , entonces, como el neutro esúnico:
   
Producto de un escalar por el vector neutro:
   
Producto del escalar 0 por un vector:
      
Si  
Si  es cierto.
Si  entonces:
       
Notación
.
Observación

Si  
Si  

4.2 Subespacio vectorial y sus propiedades
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con lasmismas operaciones que V.
Sea  un espacio vectorial y  no vacío,  es un subespacio vectorial de  si:

 donde K es el conjunto de todos los escalares.
Consecuencias
Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.
 Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.
ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa,elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.
Luego para el elemento neutro de la suma éste se puede obtener como , que  y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como , ya que 
Notaciones
Dado  un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso  es correcto.
 Demostración
Se quiere ver que :


Para ii) el abuso de lenguaje ,e incluso  es correcto.
 Demostración

Criterio de verificación
Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:
Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, w pertecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector  es también un elemento de U.

4.3 Vectoresdependientes e independientes
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual alvector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.



Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar...