Itil

Instituto de Matemáticas, Física y Estadística

SEGUNDA PRUEBA DE CATEDRA
Calculo Integral– MAT390 SECCIÓN 401 - REGIMEN DIURNO PRIMER SEMESTRE 2010

PREGUNTAS Y DESARROLLO

1.Determine el área exterior a r = 1 e interior a r = 2sen (θ)

r = 2 sen(θ ) 1 = 2 sen(θ ) r =1 
π

θ=

π
6

A = 2 ∫ (2 sen(θ )) − 1 dθ
2

2

(

)

π

6

  θsenθ cos θ  6 π  π  π π  6 A = 2 4 −  − θ  = 2[θ − sen(2θ )]0 = 2  − sen 2  = − 2 sen  2   6  3 3  2 0 6

π

π

2. Determine la convergencia odivergencia de
∞ x b b −   dx   dx   −x    −b    = lim ∫   = lim ∫  e 2 dx = lim − 2e 2  = −2 lim e 2 − e 0  = 2 ∴converge ∫  e x  b →∞ 0  e x  b →∞ 0   b →∞   b→∞ 0       0   b

3. Determine el área comprendida entre

∫ (ln x
1

e

− ln 2 x dx = 3x ln x − x ln 2 x − 3x 1

)

(

)

e

= 3e ln e − e ln 2 e − 3e − 3 ln 1− 1 ln 2 1 − 3 = 3 − e
4. Determine el volumen del sólido generado al rotar el área entre las curvas con respecto al eje x
2

(

) (
)

)

y = 8 − x2 e y = x2

 x3  512 64 x − 16  = 2π ∫ 8 − x − x dx = 2π ∫ 64 − 16 x dx = 2π  π  3 0 3  0 0 π  5. Determine la longitud del arco de y = ln(cos x ) entre x = 0 e y =   3

(

2 2

) ( )

2 22

(

2

2

π

π

dy 1 = (− senx) = − tan x dx cos x

∫
0

3

π  1 + tan x dx = ∫ sec x dx = [tan ( x )]03 = tan  3 0
3 2 2

π

6. Determine laconvergencia o Divergencia de la serie

 3n + 5n ∑ 7n  1 
∞
n

  calculando su suma  
n

∞  3n + 5 n   3n  ∞  5n  ∑ 7n  = ∑ 7n  + ∑ 7n     1  1    1  3 5 7+ 7 = 3 + 5 = 13 = 3 4 2 4 1− 1− 5 7 7 ∞

∞  ∞ 3 5  = ∑  + ∑   1 7  1 7

P.G. r < 1 c.v.

Sede Santiago Centro Profesor: jorge Ibarra Coordinador:...