IV_general

M´ınimos Cuadrados en 2 Etapas
Carlos Burga Idrogo
Econometr´ıa I - UNMSM
Semana 10

31 de octubre de 2015

Carlos Burga Idrogo

MC2E

31 de octubre de 2015

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1. Definiciones

Consideremos el siguiente modelo lineal poblacional:
y = xβ + u

(1)

x es un vector 1xK que contiene un intercepto.
Muchos elementos de x podr´ıan estar correlacionados con u.
Podemos obtener una muestra aleatoriade la poblaci´on.

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2. Supuestos
Supuesto 1. Para alg´
un vector z de dimensi´
on 1xL, se cumple que:
E [z u] = 0

(2)

Existe un vector z que contiene variables que no correlacionan con el
error, inclusive las variables ex´
ogenas que est´an en x.
Supuesto 2. El vector z debe cumplir:
Rango(E [z z]) = L y Rango(E [z x]) = K

(3)

Siendom´ınimamente cuidadosos al escoger los instrumentos, la
primera parte del supuesto 2 debe ser satisfecha.
La segunda parte es la condici´
on de rango llevada a un caso m´as
general. Significa que z correlaciona lo suficiente con x.
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2. Supuestos
Supuesto 2. El vector z debe cumplir:
Rango(E [z z]) = L y Rango(E [z x]) = K

(4)

Una condici´onnecesaria es la condici´
on de orden: L ≥ K . (Ojo: No es
una condici´on suficiente).
Testear que E [z x] tiene rango K no es tan simple cuando hay
multiples variables end´
ogenas.
Cragg y Donald (1996) usan el momento muestral asociado.
Lo que haremos nosotros es testear la significancia de z en la forma
reducida de cada variable end´
ogena.

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3. Consistencia de MC2E
Suponiendo que E [z z] no es singular, podemos proyectar el vector x
en el espacio generado por z:
x = zΠ + r

(5)

Donde Π = (E [z z])−1 E [z x] puede ser estimado de manera
consistente con una regresi´
on simple.
Entonces podemos usar como instrumento x ∗ = zΠ.
x ∗ y = x ∗ xβ + x ∗ u

(6)

β = (E [x ∗ x])−1 E [x ∗ y ]

(7)

De la definici´on de Π, tenemos:
E [x ∗ x] =E [x z]E [z z]−1 E [z x]

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3. Consistencia de MC2E
Entocnes, el estimador MC2E es:


N

−1

N

βˆMC 2E = 

xi zi

−1

N

zi zi

i=1

zi xi 

i=1

i=1

N

(9)

−1

N

xi zi

N

zi zi

i=1

zi yi

i=1

i=1

Para probar la consistencia del estimador:


βˆMC 2E = β + 

−1

N

N

xi zi

zi zi

i=1

zi xi 

i=1
N

i=1
−1

N

xi zii=1

−1

N

(10)
N

zi zi
i=1

zi ui
i=1

Usando supuestos 1 y 2, Ley de los Grandes N´
umeros y el Teorema de
p
ˆ
Slustky podemos probar que βMC2E → β.
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4. Normalidad Asint´otica de MC2E
Usando el supuesto 1, el teorema del l´ımite central y asumiendo que
el segundo momento de z u es positivo y finito, podemos concluir que
N −1/2 Noticamente mediante una
i=1 z i ui se distribuye asint´
distribuci´on normal.
Supuesto 3. E [u 2 z z] = σ 2 E [z z] = E [u 2 ]E [z z]
De este modo, sobre los supuestos 1, 2 y 3:
√
a
N(βˆMC2E − β) ∼ N(0, σ 2 E [x z][E [z z]]−1 E [z x]

−1

)

V

Donde la varianza asint´otica de β ser´ıa estimada por:
ˆ ˆ = N −1 V
ˆ =σ
V
ˆ2
β

−1
N
ˆ i xˆi
i=1 x

Con σ
ˆ 2 ≡ (N − K )−1 N
ˆi2
i=1 u
Los estad´ısticos t puedenser obtenidos de manera sencilla dado que
los errores est´andar est´an en la diagonal principal de la matriz de
varianza estimada.
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5. Eficiencia Asint´otica de MC2E
Consideremos otra combinaci´
on lineal para el instrumento:
x˜ ≡ zΓ

(11)

Donde la condici´on de rango se cumple para x˜ .
Sobre los supuestos 1, 2 y 3:
√
−1
ˆ − β)) = σ 2 E(x ∗ x ∗ )
Avar ( N(β
√
−1
˜ − β)) = σ 2 E (˜
Avar ( N(β
x x˜ ) E (˜
x x˜ )
E (˜
x x˜ )

(12)

Finalmente, note que:
x x˜ )]−1 E (˜
x x) =
E (x ∗ x ∗ ) − E (x x˜ ) [E (˜
E (x ∗ x ∗ ) − E (x ∗ x˜ ) [E (˜
x x˜ )]−1 E (˜
x x ∗) =
E

x ∗ − x˜ [E (˜
x x˜ )]−1 E (˜
x x ∗)

x ∗ − x˜ [E (˜
x x˜ )]−1 E (˜
x x ∗)

=

E (s ∗ s ∗ )
Cuidado: Incorporar muchos instrumentos podr´ıa tener efectos no
deseados...