Jacobi

sobMétodo de Jacobi
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

Contenido1 Descripción2 Convergencia3 Algoritmo4 algoritmo en java5 Ejemplo6 Enlacesexternos |
Descripción
La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema enla forma siguiente:

donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde k es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar queal calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores dedimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
Convergencia
El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante
ρ(D − 1R) < 1.
y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Es necesario, sin embargo, que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos.
Algoritmo
El método de Jacobi sepuede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:
Algoritmo Método de Jacobi |
función Jacobi (A, x0)//x0 es una aproximación inicial a la solución//para hasta convergencia hacer para hasta hacer para hasta hacer si entonces fin parafin paracomprobar si se alcanza convergenciafin para |

algoritmo en java
public class Jacobi {

double [][]matriz={{4,-2,1},{1,-5,3},{2,1,4}};double []vector={2,1,3};
double []vectorR={1,2,3};
double []x2=vectorR;
double sumatoria=1;
int max=50;
public void SolJacobi(){
int tam = matriz.length;
for (int y = 0; y < 10; y++) {
System.out.println("\nvector " + y + "\n");
for(int t=0;t>max;t++){
x2=vectorR.clone();
for (int i = 0; i < tam; i++) {
sumatoria=0;for (int s = 0; s < tam; s++) {
if(s!=i)sumatoria += matriz[i][s]*x2[s];
}
vectorR[i]=(vector[i]-sumatoria)/matriz[i][i];
System.out.print(" " + vectorR[i]);
}
}

}
}
public static void main(String[] args) {
Jacobi obj=new Jacobi();
obj.SolJacobi();
}
}
Ejemplo
Un sistema linear de la forma Ax = b con unaestimación inicialx(0) esta dado por

Usamos la ecuación x(k + 1) = D − 1(b − Rx(k)), descrita anteriormente, para estimar x. primero, re-escribimos la ecuación de una manera mas conveniente D − 1(b − Rx(k)) = Tx(k) + C, donde T = − D − 1R y C = D − 1b. vea que R = L + U donde L y U son las partes superior e inferior de A. de los valores conocidos.

determinamos T = − D − 1(L + U) as

C esencontrada como

con T y C calculadas, estimaremos x como x(1) = Tx(0) + C:

siguientes iteraciones.

este proceso se repetirá hasta que converja (i.e., hasta que es menor). la solución después de 25 iteraciones es:

Método de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así...