Jacobiano con integrales

Aplicación del Teorema Jacobiano en Integrales Dobles

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sinembargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano. El cambio de una variable por otra es en unsentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puedeutilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valorabsoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

A continuación se dan algunos ejemplosde estas transformaciones.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo quesignifica que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
[pic]
Por ejemplo:
Si lafunción es [pic]
aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ.
[pic]
Se pueden obtener funciones incluso más simples:
Si la función es[pic]
Uno tiene:
[pic]
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
[pic]
El cual se obtieneinsertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a φ.
Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por...