Jacobiano

Jacobiano
Suponga la siguiente función representada como un vector (��: ℝ�� → ℝ�� ):
�� ��
1
��2 ��
.
�� �� =
.
.
�� (��)
1

(1)

donde ���� : ℝ�� → ℝ para �� ∈ 1,2, … , �� . ElJacobiano de (1) se define por:
�� ��1 ��

�� �� 2
�� ��2 ��

�� �� 1

�� �� 2

�� ���� ��

�� ���� ��

�� �� 1

�� �� =

�� ��1 ��

�� �� 1
�� ��2 ��

�� �� 2

…
…

�� ��1 ��
���� ��
�� ��2 ��
�� �� ��

.
.
.

…

(2)

�� ���� ��
�� �� ��

Si se representa la velocidad en el espacio cartesiano, dependiente de las variables articulares, se cumple:
(3)

�� =��(��)��

Ejemplo 1: La cinemática directa de un brazo articulado con dos eslabones equivale a:
�� �� =

��1 ��1 , ��2
��2 ��1 , ��2

��
�� cos ��1 + ��2 cos ��1 + ��2
= �� = 1
��1 sen ��1 +��2 sen ��1 + ��2

(4)

y
l2

θ2

l1

θ1
x

El Jacobiano responde entonces a:
�� ��1 ��1 ,��2

�� ��2
�� ��2 ��1 ,��2

�� ��1

�� �� =

�� ��1 ��1 ,��2

�� ��1
�� ��2 ��1 ,��2�� ��2

=

−��1 sen ��1 − ��2 sen ��1 + ��2
��1 cos ��1 + ��2 cos ��1 + ��2

− ��2 sen ��1 + ��2
��2 cos ��1 + ��2

(5)

por lo que la velocidad en el espacio cartesiano es (de (3)):��
−��1 sen ��1 − ��2 sen ��1 + ��2
=
��
��1 cos ��1 + ��2 cos ��1 + ��2

− ��2 sen ��1 + ��2
��2 cos ��1 + ��2

��1
��2

(6)

Operando sobre la expresión (3) se cumple:
(7)

�� =��(��)−1 ��

teniendo solución siempre y cuando el Jacobiano sea una matriz no singular (invertible).
El Jacobiano es singular cuando su determinante es cero. Un ejemplo de ello ocurre cuando sen��2 = 0 ∴ ��2 =����,
�� = 0, ±1, ±2, … ; perdiéndose un grado de libertad. Las ubicaciones donde el Jacobiano es singular se le denominan
singularidades del mecanismo. Si se sustituye ��2 = 0, π en (6), resultaque las singularidades para un manipulador de
dos grados de libertad son:
det�� �� = 0 =

− ��1 ± ��2 sen ��1
��1 ± ��2 cos ��1

∓ ��2 sen ��1
± ��2 cos ��1

(8)

y

y...