Jacobianos

Jacobiano
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre enhonor al matemático Carl Gustav Jacobi.
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curvapuede ser embebida.
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Matriz jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de lasaplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadasdos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada unaaplicación cualquiera  continua es decir  se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal  tal que:
(1)
Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar  en estecaso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable pude verse que basta definir la "matriz"jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.
Función vectorial
Supongamos  es unafunción que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable,...