jaja

Conjuntos Numéricos
El conjunto de los números Naturales
El conjunto de los números naturales o de los
números utilizados para “contar”, se denota como
ℕ y está definido por:
ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...;

n ;.. }

Con los números naturales contamos los
elementos de un conjunto (número cardinal). O
bien expresamos la posición u orden que ocupa
un elemento en un conjunto (ordinal).
Elconjunto de los números naturales es un
conjunto con un número finito de elementos y
satisface, entre otras, las siguientes propiedades:
1) La operación suma es cerrada en ℕ. Es
decir, si m, n ∈ ℕ,

m + n∈

ℕ.

2) La operación producto (multiplicación
aritmética), es cerrada en ℕ. Es decir, si
m, n ∈ ℕ, m ⋅ n ∈ ℕ.

3) Todo número natural n tiene un sucesor
en ℕ, que está definidopor el número
natural n + 1 y, excepto el 0, todo numero
natural m, tiene un antecesor en ℕ, que
está definido por el número natural n − 1 .
4) Si m, n ∈ ℕ, entonces se cumple una y
sólo una de las siguientes relaciones:
i)

m>n

ii)

m=n

iii)

m 1 y ∀ n > 1; n ≠ m se cumple que m ∉ ℕ }
n
Entonces, todo número natural mayor que 1 y
divisible solamente por 1 y por si mismo,recibe el nombre de número primo.

Factorial de un número
Se llama factorial de un número natural " n " y se
representa por n! , al producto de los n primeros
números naturales (excluido el 0).
n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 3 ) ⋅ ... ⋅ 1

Para el número 0 esta definición no tiene
sentido. Se define el factorial de 0 por 1, de esta
manera 0! = 1.

Ejemplos.
Calcular
1) 4!Solución
1) 4!= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

2) 5!

2)

5!= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Ejemplos. (Operatoria utilizando factoriales)
Calcular
1)

Ω =

6!
8!

Solución
1)

Ω =

6!
6!
1
1
=
=
=
8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ! 8 ⋅ 7
56

2) Considere

α =

5!
3!

y

β =

8!
α  α − β 
.Halle ϕ =  8  ⋅  2β 


7!
  


Solución
α =

5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
=
= 20
3!
3!β =

8! 8 ⋅ 7!
=
=8
7!
7!

 α   α − β   20   20 − 8   5   12   5   3  15
ϕ =  ⋅
 =  ⋅
 =  ⋅  =  ⋅  =


 8   2 β   8   2 ⋅ 8   2   16   2   4  8

∴ ϕ =

15
8

Una pequeña lista de números con su correspondiente factorial
n

n!

0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5.040

840.320

9

362.880

10

3.628.800

11

39.916.800

12

479.001.600

13

6.227.020.800

14

87.178.291.200

15

1.307.674.368.000

16

20.922.789.888.000

17

355.687.428.096.000

18

6.402.373.705.728.000

19

121.645.100.408.832.000

20

2.432.902.008.176.640.000

21

51.090.942.171.709.400.000

22

1.124.000.727.777.610.000.000

2325.852.016.738.885.000.000.000

24

620.448.401.733.239.000.000.000

25

15.511.210.043.331.000.000.000.000

¡Como ves, cre

cen muy rápido!

Concepto de Sumatoria
Aquí veremos este concepto sólo a nivel
general ya que la notación de sumatoria, en
general, se usa para representar sumas en el
conjunto de números Reales.
El concepto de sumatoria aparece cuando
debemos trabajar consumas (finitas) de varios
sumandos, es decir expresiones de la forma
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + ... + x n . Una forma
abreviada de escribir esta suma es usando el
símbolo
llamado sigma.

∑

Así por ejemplo
n

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + ... + x n =

∑

xi

i =1

se lee “Sumatoria (o simplemente suma) de los
xi cuando i varía de 1 a n ”

Límite superior
n

∑

xi

i =1Límite inferior

Ejemplos.

1)

2)
5

3)

∑

( 3 k + 1)

k =2

Algunas sumatorias importantes

Valor del sumando
en el punto i

n

1)

∑

i =1 + 2 + 3 + 4 + ... + ( n − 1) + n =

n ( n + 1)
2

i =1

n

2)

∑

n ( n + 1)( 2 n + 1)
i 2 =12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + ( n − 1) 2 + n 2 =
6

i =1

n

3)

∑

n 2 ( n + 1) 2
i =1 + 2 + 3 + 4 + ... + ( n...