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Esta es la regla más importante y que nos permitirá derivar cualquier tipo de función. Ésta, por muy complicada que sea, siempre podrá reducirse a las funciones elementales estudiadas hasta ahoramediante su composición.
Ejemplo
f(x)=sin(ax+b) es una composición de las funciones elementales g(x)=sinx y h(x)=ax+b.
La composición de funciones nos dice que f(x)=g(h(x)) o, en otranotación, f=h∘g. Podríamos lógicamente hacer composiciones de tres funciones distintas, o de cuatro, o de cuantas funciones queramos.
En la siguiente tabla se presentan varias funciones construidas a partir de lacomposición de funciones elementales y sus derivadas.
Obsérvala atentamente e intenta deducir ahora la llamada regla de la cadena:
f(x)
f′(x)
sin2x
cos2x⋅2
ex2
ex2⋅2x
(x3+x)12
12(x3+x)−12⋅(3x2+1)lnx2
1x2⋅2x
g(h(x))
?
Si lo has conseguido ¡felicidades! Comprueba tu resultado y avanza a los ejemplos. Si no has podido sacar la regla de la cadena mira de qué se trata y aplícala de nuevo alas funciones de la tabla para comprobar los resultados.
Derivada de la composición
Regla de la cadena
f(x)=g(h(x))⇒f′(x)=g′h((x))⋅h′(x)
Ejemplo
Sea: f(x)=sin2x Identificamos g(x)=sinx y h(x)=2x,de tal manera que f(x)=g(h(x))=sin2x.
De esta manera podemos aplicar la regla de la cadena, f′(x)=cos2x⋅2=2cos2x
Ejemplo
Compliquemos un poco más nuestras funciones.
Let f(x)=ex3+2x+1.Identificamos g(x)=ex y h(x)=x3+2x+1.
Apliquemos directamente la regla de la cadena, f′(x)=ex3+2x+1⋅(3x2+2)
Ejemplo
Sigamos complicándolo f(x)=ln(sinx2)).
En este caso identificamos tres funciones:g(x)=lnxh(x)=sinxt(x)=x2
La regla de la cadena sigue siendo válida. Vayamos con el cálculo:
f′(x)=1sinx2⋅cosx2⋅2x=2xtanx2
Ejemplo
Veamos, por curiosidad, como la regla del cociente es en realidad lamisma que la del producto si utilizamos la regla de la cadena:
f(x)g(x)=f(x)(g(x)−1
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−1+(−1)f(x)g(x)−2=




=f′(x)g(x)−1g(x)g(x)−f(x)g(x)−2g′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)...