Javier Mate

SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
 
Hoy nos dedicaremos a determinar relaciones para las funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos, o sea, demostraremos losiguiente:
senα±β=sen α.cosβ ± sen β.cosα
cosα±β=cos α.cosβ ∓ sen α.sen β
tgα±β=tg α ± tg β1∓ tg α.tg β
Seno de la suma de dos ángulos
Para la demostración de la suma de ángulos,utilizaremos la siguiente figura, que nos permite obtener lo que queremos, o sea, una suma de 



O
O

sen α+β=BDOB=CD+BCOB=AE+BCOB=AEOB+BCOB=
Amplificando ambas fracciones poruna cantidad conveniente tenemos:
AEOB.OAOA+BCOBABAB=AEOA.OAOB+BCAB.ABOB=senα.cosβ+senβ.cosα
 senα+β=sen α.cosβ+senβ .cosα

Coseno de la suma de dos ángulos
cosα+β=ODOB=OE-DEOB=OE-ACOB=OEOB-ACOB=
OEOB.OAOA-ACOBABAB=OEOA.OAOB-ACAB.ABOB=cos α.cosβ+senβ.sen α
cosα+β=cos α.cosβ+senβ sen α
Seno de la diferencia de dos ángulos
Ahora, para determinar las funcionestrigonométricas con la diferencia de ángulo, nos basaremos en la siguiente figura:

O
O

sen α-β=AEOA=BD-BCOA=BDOA-BCOA=BDOA.OBOB-BCOA.ABAB= 
BDOB.OBOA-BCAB.ABOA=sen α.cosβ-cosα.senβ
senα-β=sen α.cosβ-cosα.senβ

Coseno de la diferencia de dos ángulos
cos α-β=OEOA=OD+DEOA=ODOA+DEOA=ODOA.OBOB+DEOA.ABAB=
ODOB.OBOA+BAOA.BDOB=cos α.cosβ+senβ.senα
cos α-β=cosα.cosβ+senβ.senα

Tangente de la suma de dos ángulos

tgα+β=sen(α+β)cos⁡(α+β)=sen α.cosβ+cos α. sen βcos αcosβ-sen α senβ=
sen α cos βcos α cos β+cos αsen βcos αcos βcos α cos βcos α cos β-sen α senβcosα cos β=sen αcos α +sen βcos β1-sen α sen βcos β cos β=
tgα+β=tg α+tg β1-tg α tg β

Tangente de la diferencia de dos ángulos
tgα-β=sen(α-β)cos⁡(α-β)=sen α.cosβ-cos α. sen βcosαcosβ+sen α senβ
sen α cos βcos α cos β-cos αsen βcos αcos βcos α cos βcos α cos β-sen α senβcos α cos β=sen αcos α -sen βcos β1+sen α sen βcos β cos β=
tgα-β=tg α-tg β1+tg α tg...