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Fuente: Universidad Católica de Chile

Guía de Aprendizaje N° 9
Plan Biólogo II 2011

PROBLEMAS II
1.

Problemas de Mezclas

Este es el problema tipo donde hay que encontrar los precios o las cantidades para que todo concuerde con el enunciado.
En general, si tenemos n objetos de los cuales x tienen un costo unitario
igual a a y el resto y tiene un costo unitario igual a b, entonces el problemase traduce en resolver el sistema
ax + by
x+y

=
=

CT
n

donde CT es el costo total de los n objetos.
Ejemplo 1 Bob debe construir una casa, para lo cual necesita tornillos tipo
A y B . Si cada tornilo tipo A cuesta $5 y cada tornillo tipo B cuesta $10,
entonces ¿cu´nto dinero gast´, si compro 130 tornillos por un total de $875?
a
o
En este caso, a = 5, b = 10, n = 130 y CT = 875, por lo tanto elsistema a
resolver es
5x + 10y = 875
x + y = 130
Cuya soluci´n es x = 85 e y = 45.
o

2.

Problemas de Trabajos

Si una m´quina puede realizar un trabajo en un tiempo t 1 y otra en un
a
tiempo t2 , la ecuaci´n que permite calcular el tiempo t que demoran ambas
o
en realizar el mismo trabajo est´ dado por
a
1
1
1
=
+
t
t1 t2

Ojo 1 Despejar el tiempo t como t = t1 + t2 es un error muy com´n. Lo
ucorrecto es
1
1
1
t2 + t 1
t1 · t 2
=
+
=
⇒t=
t
t1 t2
t1 · t 2
t1 + t 2
1

Ojo 2 Si se quiere agregar otra m´quina, entonces en la f´rmula basta con
a
o
1
agregar t3 en la suma de la derecha.
Ejemplo 2 Una llave llena un estanque en 6 horas y otra lo hace en 4
horas. Si el desag¨e es capaz de vaciarlo en 3 horas, ¿cu´nto tiempo demora
u
a
en llenarse el estanque vac´o, al ser abiertassimult´neamente las llaves y el
ı
a
desag¨e?
u
Tenemos que t1 = 6, t2 = 4 y el factor desag¨e lo podemos considerar como
u
t3 = −3, es decir
1
1
1
1
111
1
=
++
=+−=.
t
t1 t2 t3
643
12
Por lo tanto, el estanque se demora 12 horas en llenarse.

3.

Problemas de Cercos

En estos problemas, se tiene una cantidad c de algun material con el
que se pretende cercar una regi´n rect´ngular cuya superficie es A y se noso
a
pide encontrar el largo x y ancho y de la regi´n. En general, el problema se
o
reduce a resolver el sistema

xy
2x + 2y

=
=

A
c

x

y

2

4.

Problemas de Marcos Rectangulares

En estos problemas, se presenta una figura rectangular, dentro de la cual
se encuentra otro rect´ngulo de lados x e y dejando entre ambos una franja
a
de ancho constante a.
y

x + 2a

x

a

a
y + 2a
Si el area de lafranja entre ambos rect´ngulos se representa por A, tenemos
´
a
la siguiente ecuaci´n
o
A = (x + 2a)(y + 2a) − xy,
donde A = area del rect´ngulo exterior − area rect´ngulo interior.
´
a
´
a

5.

Problemas de M´viles
o
Para este tipo de problemas, debemos tener presente la f´rmula:
o
d = v · t,

donde d es la distancia recorrida, v es la rapidez y t tiempo que demora.
Ejemplo 3 Un bus parte desdeRancagua con direcci´n a Santiago a las 10 : 00 a.m.
o
Otro bus parte de Santiago con direcci´n a Rancagua a las 10 : 45 a.m. Si
o
ambos viajan a velocidades constantes, v 1 y v2 respecticamente, entonces
¿cu´l es la raz´n v1 : v2 si chocaron en la mitad del camino a las 13 : 00?
a
o
Como chocaron en la mitad, podemos decir que cada bus recorri´ la misma
o
distancia, por lo tanto,
v1 · t1 = v2 · t2 ⇒v1 (13 − 10) = v2 (13 − 10, 75) ⇒

3

9
3
v1
=4= .
v2
3
4

6.

Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´lo 1 alternativa.
o
1. Un ni˜ o con $410 compra 34 dulces: unos de $10 y otros de $15.
n
¿Cu´nto dulces de $10 compr´?
a
o
a ) 12
b ) 14
c ) 20
d ) 23
e ) 34
2. A una funci´n de teatro organizada por un colegio, asistieron 1.000
o
personas, dejando $2.650.000 por la venta de entradas, las cualeseran
de dos tipos: galer´ que costaba $2.000 y platea $3.000. Si se vendieıa,
ron entradas de los dos tipos, ¿cu´ntas personas asistieron a la platea?
a
a ) 350
b ) 400
c ) 450
d ) 550
e ) 650
3. Un maestro puede pintar una habitaci´n en 2 horas y su ayudante en
o
3 horas. ¿Cu´nto tiempo demoran ambos en pintar la habitaci´n?
a
o
a ) 1 hr
b ) 1 hr 12 min
c ) 1 hr 20 min
d ) 1 hr 30 min
e ) 1 hr...