Jeis

Ecuaciones de recurrencia
Introducción
Comencemos con un ejemplo: Sucesión de Fibonacci: ( an ) = ( 1,1, 2,3,5,8,13,...) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores, o sea: an = an − 1 + an − 2 ( n ≥ 3) Una expresión de este tipo, en que el término general de la sucesión se escribe en función de algunos términos anteriores, recibe el nombre de relación derecurrencia, ecuación de recurrencia o ecuación en diferencias. Para obtener un término concreto de una sucesión dada en forma recurrente debemos ir obteniendo todos los anteriores, lo cual no siempre es práctico. ¿Cuál es el término a100 de la sucesión de Fibonacci? Encontrar una solución a la ecuación de recurrencia es determinar una expresión del tipo an = f (n ) en la que el término general dependasolo de la posición que ocupa y no de los anteriores. Para que la solución sea única es necesario conocer algunos términos de la sucesión, lo que llamaremos condiciones iniciales. En el ejemplo anterior a1 = 1 y a2 = 1 .

Ejemplo: Las sucesiones (1, 2, 4, 8, 16, ...) y (3, 6, 12, 24, 48, ...) satisfacen la misma relación de recurrencia an = 2an − 1 , si n ≥ 1 . Pero la condición inicial a0 = 1junto con la relación de recurrencia determinan de forma única la primera de estas dos sucesiones. La condición inicial a0 = 3 junto con an = 2an − 1 para n ≥ 1 , determina la segunda.

Definición: Una ecuación de recurrencia lineal de orden k con coeficientes constantes es una relación cn an + cn − 1an − 1 + cn − 2 an − 2 + ... + cn − k an − k = bn , n ≥ k (I) donde cn , cn − 1 ,..., cn − k sonconstantes ( ≠ 0 ) y ( bn ) es una sucesión conocida. Diremos que (I) es homogénea si bn = 0 .

Matemática II- INET Profesora Patricia Echenique Viñas -1-

Ecuación de recurrencia lineal homogénea Ecuación de recurrencia lineal de primer orden
Sea ( an ) : an = 3an − 1 (esta expresión no define una única progresión geométrica, debemos dar las condiciones iniciales) Sea entonces ( an ) : an =3an − 1 , con n ≥ 1 y a0 = 5 Esta ecuación de recurrencia an = 3an − 1 depende del elemento inmediato anterior, por eso decimos que es de primer orden. a0 = 5 a1 = 3a0 = 3 ⋅ 5 a2 = 3a1 = 3 ⋅ ( 3a0 ) = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 32 ⋅ 5 a3 = 3a2 = 3 ⋅ ( 3 ⋅ ( 3a0 ) ) = 33 ⋅ 5 . . . an = 3n ⋅ 5 esta es la solución de la ec. de recurrencia Ejercicio 1: Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones derecurrencia a) bn = 6bn − 1 con n ≥ 1, b0 = 13 1 b) cn = cn − 1 con n ≥ 1, c0 = 7 5 En general: La solución de la ecuación de recurrencia an = d ⋅ an − 1 con n ≥ 1, a0 = A es

an = A ⋅ d n
Ejemplo: Resolver an = 7 ⋅ an − 1 , n ≥ 1 y a2 = 98 an = 7 ⋅ a n − 1 ⇒ d = 7 an = A ⋅ d n a2 = A ⋅ 7n ⇒ 98 = A ⋅ 7 2 ⇒ A = 2 Por lo que la solución es:

an = 2 ⋅ 7 n

Matemática II- INET Profesora PatriciaEchenique Viñas -2-

Ejercicio 2: Encuentra la solución general de: n ≥ 0 a0 = 3 a) an + 1 = 1,5an n ≥ 0 a1 = 4 b) 3an + 1 − 4an = 0
2 2 Ejercicio 3: Determina an si an + 1 = 5an

an > 0, n ≥ 0 y a0 = 2
2 n

( Sugerencia: cambio de variable bn = a )

Ejercicio 4: Un banco paga un interés (compuesto mensual) del 6% anual. Si se depositan U $ 1000 el 1º de abril, ¿cuánto dinero tendrá 3meses después?

Ecuación de recurrencia lineal de segundo orden
cn an + cn − 1an − 1 + cn − 2 an − 2 = 0 Se busca una solución de la forma n ≥ 2 (homogénea)

a n = Ar n
Sustituyendo en : cn an + cn − 1an − 1 + cn − 2 an − 2 = 0
n− 2 2 Factorizando se obtiene: r ( cn r + cn − 1r + cn − 2 ) = 0

cn Ar n + cn − 1 Ar n − 1 + cn − 2 Ar n − 2 = 0

⇔

cn r 2 + cn − 1r + cn − 2 = 0 ( ya que r ≠0 )

(c r
n

2

+ cn − 1r + cn − 2 ) Se le llama POLINOMIO CARACTERÍSTICO

Según las raíces del polinomio característico las soluciones de las ecuaciones de recurrencia pueden ser de dos tipos: n n • 2 raíces distintas: r1 y r2 (reales o complejas), entonces la solución es an = α r1 + β r2 n n • Raíces repetidas, la solución es

an = α r + β ⋅ nr

Ejemplos: Resolver  an + an − 1 −...