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1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.
2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.
3)Existencia de elemento inverso(inverso aditivo): a+(-a)=04
)Existencia de elemento neutro: a+0 =a5
)Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a6
)Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)7
)Existencia de elemento inverso: a.1/a= 1
8)Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a
9)Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)
10)Tricotomia : a>b , ab>c entonces a>c
14) Propiedad Uniforme
LOS NÚMEROS REALES *
Esta propiedad vale para los números racionales
Estas propiedades sirven para *.
P1. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a + (b + c) = (a + b) + c
El enunciado de estapropiedad hace evidente la no necesidad de definir por separado la suma de tres elementos. a + b + c representa el número a + (b + c) = (a + b) + c . La suma de cuatro números requiere consideraciones parecidas pero con mas posibilidades. El símbolo a + b + c + d se define como 
((a + b) + c) + d
(a + (b + c)) + d
a + ((b + c) + d)
a + (b + (c + d))
(a + b) + (c + d)
Esta definición es única,pues estos números son afortunadamente iguales.
Aplicando la propiedad P1 se puede llegar a resultados similares para n números. En adelante hacemos uso tácito de este hecho y escribiremos las suma a1 + a2 + ... + an olvidándonos de las disposiciones de paréntesis.El número cero, 0, tiene una propiedad muy importante que merece enunciarse. 

P2. Si a es un número cualquiera, entonces. a + 0 = 0 +a = aEl número cero también juega un papel importante en la siguiente propiedad. 
P3. Para todo número a existe un número -a tal que. a + (-a) = (-a) + a = 0 
DEFINICIÓN 0.1 (Resta o Diferencia)La resta o diferencia de los números a y b, en este orden, se denota a - b y se define como a - b = a + (-b) En la propiedad P1 vimos que no importaba el orden en que se operara, veremos en la siguientepropiedad que no importa el orden en que coloquemos los números. 
P4. Si a y b son números cualesquiera, entonces a + b = b + a.Es importante destacar que no todas las operaciones cumplen la propiedad P4, por ejemplo la resta no cumple esta propiedad: en general a - b ¹ b - a. Las propiedades fundamentales de la multiplicación son similares a las de la suma. El producto de dos númeroscualesquiera a y b se denota por a·b o simplemente por ab y es un único número. 
P5. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a·(b·c) = (a·b)·c. 
P6. Si a es un número cualquiera, entonces a·1 = 1·a = a.Puede parecer demasiado obvia esta propiedad, pero es necesario hacerlo, pues es imposible demostrarla de las propiedades enunciadas.Es importante aclarar que 1¹0. 
P7. Para todo número a ¹ 0 existe unnúmero, que denotamos por a-1, a·a-1tal que a-1·a = 1 
P8. Si a y b son números cualesquiera, entonces a·b = b·a.Un detalle que es importante tener en cuenta es que aparezca la condición a ¹ 0. Esta condición es absolutamente necesaria puesto que 0·b = 0 para todo número b, no existe ningún número 0-1 que satisfaga 0·0-1 = 1. Esta condición tiene una consecuencia importante para la división. Asícomo la resta fue definida a partir de la suma, del mismo modo se obtiene la división a partir de la multiplicación. 

DEFINICIÓN 0.2 (División) 
La división de los números a y b, b¹0, se denota por

y se define asi:

Puesto que 0-1 no tiene sentido, tampoco lo tiene

, de ahí que la división por cero siempre este indefinida.
Si a·b=a·c no se sigue necesariamente que b=c. 
P9.Si a, b yc son números, entonces a·(b + c)=a·b + a·c.Utilizando la propiedad P8 se tiene que (b + c)·a=b·a + c·a también se cumple. Las nueve propiedades anteriores tienen nombres descriptivos asociados a cada una de ellas.
Sean a, b y c números cualesquiera. 
P1.

Propiedad Asociativa para la suma.
P2.

Existencia de Neutro para la suma.
P3.

Existencia de Inversos para la suma.
P4....