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Contenidos

1. Ecuaciones de la circunferencia a partir de centro y radio
2. Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados (circunscrita a un triángulo)
2.1. método de mediatrices
2.2. método de coeficientes indeterminados
3. Recta tangente y normal a una circunferencia en un punto de la misma
4. Posición relativa de recta y circunferencia. Puntos de corte.
5.Posición relativa de dos circunferencias. Puntos de corte.
6. Potencia de un punto respecto a una circunferencia

1. Ecuaciones de la Circunferencia:

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que equidistan de un punto fijo del mismo plano, llamado centro.

Sea el centro C = (a, b).
Cualquier punto de la circunferencia está a la misma distancia de C que los otros. Aesta distancia constante la llamamos radio, r.

Abreviadamente, la circunferencia resulta estar formada por los puntos del plano, P, tales que

d(P,C) = r

Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresamos analíticamente la condición de l.g. de la circunferencia Al ser d(P,C) distancia entre dos puntos puede calcularse como:

si P(x,y) está en la circunferencia de centro C, entonceselevando al cuadrado:



que es la ecuación canónica de una circunferencia de centro C(a,b) y radio r.

Desarrollando la ecuación general se obtiene;


que se acostumbra dejar ordenada en la forma:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
que es la ecuación general de la circunferencia

observa que al pasar de la forma canónica a la general hemos realizado las identificaciones:

A = - 2a B= - 2b C = a2 + b2 - r2

Es decir las coordenadas del centro y el radio puedan obtenerse de la ecuación general como:



Nota que si el centro C coincide con el origen de coordenadas, se tiene a = b = 0; y la ecuación de la circunferencia queda reducida a:

x2 + y2 = r2

Ejemplos:

a) Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(l,-2) y cuyo radiomide 2 unidades.

(x -1)2 + (y + 2)2 = 4, o bien, desarrollando: x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0.

b) Dada la ecuación (x+3)2 + (y-2)2 = 9, observa que corresponde a una circunferencia de centro C(-3, 2), cuyo radio mide 3 unidades.

c) Sea la circunferencia x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0. Determina las coordenadas del centro y la medida del radio.

Basta utilizar las relaciones entre loscoeficientes de “x” e “y” y las coordenada del centro

A = -4 = -2a B = 6 = -2b C= -3 = a2+b2-r2, y por tanto

a =2 b = -3 r2 = a2+b2+3=22+(-3)2+3=16

Luego C=(2,-3) y r=4.

Completar cuadrados

Una técnica alternativa para averiguar centro y radio es completar cuadrados. Agrupamos los términos en x y en y para pasar a la forma canónica:
(x2 - 4x) + (y2 + 6y) = 3.
Ahora sumamos 4 y9 en ambos miembros, para completar los cuadrados obteniendo una ecuación equivalente a la dada1:
(x2 - 4x) +4 + (y2 + 6y)+9 = 3+4+9
(x - 2)2 + (y + 3)2 =16
De nuevo vemos que C = (2,-3) y r = 4.

2. Circunferencia determinada por 3 puntos no alineados ó circunscrita a un triángulo:

Calculamos la ecuación de la circunferencia, C, que pasa por los puntos M(1,4),N(1,0) y P(3,2).

2.1. Método de las mediatrices




Los puntos M, N y P de la figura determinan 3 segmentos (un triángulo).
Los puntos en la mediatriz,m1, de MP equidistan de M y P.
m1 : x – y + 1 = 0
Los puntos de la mediatriz, m2, de NP equidistan de N y P.
m2 : x + y -3 = 0



El punto de corte de ambas mediatrices, C, se encuentra por tanto a igual distancia, r, de los trespuntos.
Resolviendo el sistema entre las ecuaciones de m1 y m2:
C = (1,2)
Así, C es el centro de una circunferencia, de radio r, que contiene a M, N y P; y se le denomina circuncentro del triángulo MNP.

El radio, r, es el módulo del vector que une C con M, N ó P.
r = .
Por tanto la ecuación es:


2.2. Método de los coeficientes indeterminados

La ecuación de la circunferencia que...