Jennifer

Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos Departamento de Matematica
Curso: Segundo Medio
Unidad 1: Datos y Azar
Guía N° 3 - 2012
GUIA MATEMATICA









MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Alvaro es dueño de un almacén y últimamente sucede que o no hay suficientes salchichas para satisfacer la demanda o sobran demasiado. Cada semana, debe botar todas las salchichas que hanvencido. Alvaro compra cada paquete de salchichas a $ 640 y la vende al público a $ 830, es decir, por cada paquete de salchichas vendido gana $ 190. Alvaro revisó la cantidad de paquetes de salchichas que ha vendido durante las últimas siete semanas. La información se muestra en la tabla:

Analizo las siguientes preguntas:

• Si Alvaro debe botar 20 paquetes al final de la semana, ¿cuántodinero pierde?
• Si él nota que podría haber vendido 15 paquetes más, pero ya no le quedaban, ¿cuánto dinero pierde por esto?
• ¿Qué le conviene más, tener muchas salchichas, aunque luego le sobren, o tener pocas, para no tener que botar las salchichas al final? Justifica tu respuesta.
• ¿Cuántos paquetes de salchichas debiera comprar Alvaro cada semana para satisfacer la demanda?, ¿cómo localculaste?
• ¿Qué otras variables o elementos se deben considerar?
• ¿Podemos decir que la demanda de salchichas en el almacén de Alvaro es un experimento aleatorio?, ¿por qué?

Una posibilidad es calcular la media de la venta realizada:

Es decir, la media de la venta semanal de salchichas es de 55 paquetes. Ahora, si Alvaro hubiera comprado todas las semanas 55 paquetes, en las semanas 1, 4, 5y 6 habría perdido venta y habría dejado de ganar $ 11 400.
Por otra parte, en las semanas 2, 3 y 7 habría tenido excedentes, perdiendo $ 38 400. Considerando ambas situaciones, habría perdido $ 49 800 en total.
Según esto, ¿te parece adecuado recomendar a Alvaro que compre 55 paquetes de salchichas semanalmente?, ¿cuántos paquetes debería comprar para evitar perder tanto dinero?

Este ejemplomuestra que, si bien la media, y también la mediana y la moda, son útiles para describir un conjunto de datos, estas por sí solas no son suficientes, ya que esconden información sobre la variabilidad de las observaciones. En muchos casos, considerar solo esta información puede inducir a tomar decisiones erróneas o poco eficientes. Observa ahora que, en las últimas siete semanas, la menor cantidadde paquetes de salchichas vendidos fueron 12 y la mayor cantidad, 88.
Podemos calcular el rango de la demanda de paquetes de salchichas de la siguiente manera: rango = 88 – 12 = 76 paquetes, Es decir, el rango de una variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de las observaciones.
Las medidas de dispersión, como el rango y otras medidas, indican qué tanto se dispersan odistribuyen, alrededor de su media, un conjunto de datos.
Observo los siguientes gráficos:

Ambos conjuntos de datos tienen la misma media: 15; sin embargo, como se observa en los gráficos, las observaciones del gráfico 1 se encuentran más cercanas a la media que las del gráfico 2.

Si x1, x2,…, xn son n observaciones de una variable y su media es , entonces una medida de dispersión entorno a la media es calcular la suma de las diferencias entre cada una de las observaciones y la media. Esto es:

donde se conoce como la desviación de la i-ésima observación de la media.

Calculando esta expresión con los datos de venta de salchichas, se obtiene:


Luego,


El resultado es siempre 0; puedo comprobar esto con otros conjuntos de datos.

Luego, se define la siguientemedida de dispersión, conocida como varianza.
La varianza, que se denota por , de un conjunto de n datos es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto de su media.

La expresión garantiza que siempre estaremos sumando valores positivos, y este resultado es 0 solo si todos los datos son iguales.

Ejemplo: Reviso la siguiente situación:
Calculemos la...