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Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
En general e1 movimiento de los objetos reales se realiza en el espacio real
tridimensional. E1 movimiento de una partícula que se realiza en un plano es
un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio,
se produce en tres dimensiones. En este capítulo se estudia la cinemática de
unapartícula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en
dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire como una pelota, un
disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites,
etc. El movimiento de los objetos que giran sobre un plano, se conoce como
movimiento circunferencial, es un caso de movimiento en dos dimensiones,
que también esestudiado en este capítulo. El movimiento de una mosca volando, el de un avión o el de las nubes se produce en tres dimensiones.
3.1 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
Continuamos restringiendo el movimiento al caso de una partícula que se
mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no
cambian durante el movimiento. E1 vector posición de una partícula que semueve en el plano xy es una función del tiempo, se escribe como:
r
r ( t ) = x( t )ˆ + y( t ) ˆ
i
j

La velocidad de la partícula en movimiento en el plano xy es, por definición,
el cambio de posición en el transcurso del tiempo y se puede determinar por:
r
r dr dx ˆ dy ˆ
v=
= i+
j = v xˆ + v y ˆ
i
j
dt dt
dt
r
v ( t ) = v x ( t )ˆ + v y ( t ) ˆ
i
j

J. Inzunza

67Introducción a la Mecánica

Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

donde vx y vy son las componentes de la velocidad en la dirección x e y. Si la
aceleración es constante, sus componentes ax en la dirección x, y ay en la dirección y, también lo son. Aplicando las ecuaciones cinemáticas de la velocidad deducidas para el movimiento en una dimensión, independientemente en
cada dirección x e y, para unapartícula que en el instante inicial to se mueve
con velocidad inicial vo = vox + voy, se obtienen las componentes de la velocidad en función del tiempo:
v x = vox + a x ( t − to )
v y = voy + a y ( t − to )
r
reemplazando en la expresión de v ( t ) , se obtiene la velocidad en cualquier
instante t:

[

]

r
v ( t ) = [vox + a x ( t − to )]ˆ + v0 y + a y ( t − t0 ) ˆ
i
j
r
v ( t )= ( v0 xˆ + v0 y ˆ ) + ( a xˆ + a y ˆ )( t − t0 )
i
j
i
j
r
r r
v ( t ) = vo + a( t − to )

(3.1)

De manera similar reemplazando las expresiones de la posición en función del
tiempo en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial to
r
se encuentra en la posición inicial ro = xo + yo se obtiene la posición r ( t ) de la
partícula, en cualquier instante t:
1x = x0 + v0 x ( t − t0 ) + a x ( t − t0 )2
2
1
y = y0 + v0 y ( t − t0 ) + a y ( t − t0 )2
2
J. Inzunza

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Introducción a la Mecánica

Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

r
r r
1r
r ( t ) = ro + vo ( t − to ) + a( t − to )2
2

(3.2)

Se concluye que e1 movimiento bidimensional con aceleración constante es
equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones xe y con
aceleraciones constantes ax y ay. Esta propiedad se le llama principio de independencia del movimiento.
3.2 MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

r
Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial vo de
dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano.
Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) la aceleración de
gravedad esconstante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño
comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la
rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de...