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DERIVE









5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO

Introduce la función f(x):=(2x^3-3x+1)/(x^3+x^2-3). ¿Cuál es su tendencia cuando
x  ? Vamos a analizarlo de tres formas:

–– Halla valores numéricos:

Introduce y simplifica VECTOR(f(x), x, 90, 100). ¿Puedes predecir el límite? La expresión anterior obtiene 10 valores de f(x) tomando x = 90, 91, 92, 93, …,100.

–– Representa la función:

Resalta f(x), pulsa el icono para acceder a la ventana gráfica y vuelve a pulsar en dicha ventana. Haz zoom con , y para “alejarte”.

–– Halla el límite correspondiente:

Resalta f(x) y pulsa el icono , o introduce directamente la expresión
LIM(f(x), x, inf).

Ahora, introduce LIM(f(x), x, -inf) para hallar el límite cuando x  – opulsa , y escribe -inf en el apartado Punto.

–– Introduce y representa 2 ( en realidad es y = 2). Obtendrás una recta horizontal. Observa si f(x) se aproxima a ella cuando x   y cuando x  – .


Repite los mismos pasos con las siguientes funciones:

f(x):=(5-2x)/(x-3) f(x):=ê^(-x^2) f(x):=sinx/x

f(x):=(x+1)/ABS(x) f(x):=(3x+1)/2-(x^2+1)/(5x-1) f(x):=(4x-5)


Practica

1.Halla los límites que se piden en los ejercicios propuestos de las páginas 130 y 131 del libro.


5.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS

2. Introduce las siguientes funciones:

[f(x):=3x^2-5x+1, g(x):=x^2+7, h(x):=x^4+x-3]

Las agrupamos entre corchetes para poder introducirlas conjuntamente. Halla los límites cuando x   y cuando x  – de las siguientes expresiones:f(x)/g(x) g(x)/f(x) f(x)/h(x) h(x)/f(x) f(x)g(x)/h(x)

g(x)-f(x) f(x)^2-9h(x) h(x)-g(x) (f(x)g(x))-h(x)

3. Comprueba los ejemplos que aparecen en las páginas 135 y 136 del libro y resuelve los ejercicios propuestos.

4. Halla los límites del ejercicio 3 de la página 141.

5. Propón cuatro funciones f(x), g(x), h(x) y u(x) cuyos límites sean +, 4, – y 0, respectivamente. Halla loslímites que se solicitan en los ejercicios propuestos 5 de la página 131 y 6 de la página 132 del libro.

Puedes definir, por ejemplo, [f(x):=2x+1, g(x):=(4x+3)/(x-1), h(x):=5-3x, u(x):=3/x]. Define otras funciones y vuelve a evaluar los límites. Basta situar el cursor sobre las líneas respectivas y simplificar.

6. Propón funciones que cumplan las condiciones del ejercicio 4 de la página 142del libro y evalúa con DERIVE los límites que se piden.

7. Halla los límites cuando x   de las siguientes funciones, pero prevé su valor antes de hacerlo:

y=2^x y=0,5^x y=(8/9)^x y=(9/8)^x y=(x/(x^2-2x))^(5x-1)

y=(-2)^x y=(-0,5)^x Interpreta estos últimos resultados.

8. Considera las anteriores funciones, [f(x):=3x^2-5x+1, g(x):=x^2+7, h(x):=x^4+x-3]. Basta situar el cursor sobrela expresión anterior y simplificar si hubieras modificado las funciones.

Halla los límites cuando x   y cuando x  – de las siguientes expresiones:

(f(x)/g(x))^h(x) (g(x)/f(x))^h(x) (3g(x)/f(x))^h(x)

9. El último límite del ejercicio anterior es de la forma 1. Vamos a comprobar la regla a aplicar en estos casos:

Si el límite, cuando x  , de f(x)g(x) es de la forma 1,podemos eliminar la indeterminación hallando el límite de g(x)(f(x)  1), que figurará como exponente de ê.

Compruébalo con f(x):=(x+3)/(x-5) y g(x):=4x+1. Halla g(x)(f(x)-1) y su límite en inf. Compáralo con el límite de f(x)g(x) obtenido directamente con DERIVE.



10. Evalúa con DERIVE la expresión lim(f(x)^g(x), x, inf)=ê^lim(g(x)(f(x)-1), x, inf). ¿Es verdadera o falsa?Observa que debes introducir ê^ y no e^. Para ello, pulsa CTRL+e o elige ê en la ventana de símbolos si la tienes abierta ( puedes abrirla con el menú Ventana-Barra de herramientas-Barra de símbolos).

11. Prueba con otras funciones, f(x) y g(x). Pero no olvides que la regla no es válida si el límite no es de la forma 1.

12. Halla el límite cuando x   de (1+1/x)^a...