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Factorización de polinomios

Factorizar un número significa expresarlo como producto de varios factores, convenientemente números primos, es decir, aquellos que sólo admiten como divisores al uno y a sí mismos.
Ejemplos: 12=2.2.3 =2².3 64=2.2.2.2.2.2= 375=

Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de varios factores, convenientemente polinomios primos de menorgrado que el original.
Ejemplos: a) factor común:
1) [4x³ es “factor común”]
2) 14 x² +49x= 7 x ( 2x+7) [7x es “factor común”]
3) 2x+8=2 (x+4) [2 es “factor común”]
b) polinomios de grado dos (con dos o tres términos):4) x²-4= (x-2) (x+2)
5)-3x²-3x+6=-3 (x-1) (x+2)
c) binomios de grado mayor a dos:
6) x³-8 = (x-2) (x²+2x+4) [dividendo=divisor por cociente]
7) x³+27 = (x+3) (x²-3x+9) [el resto siempre debe ser cero]
8)

¿cómo se puede factorizar un polinomio?
a) factor comúnsignifica que es un número o una letra que está multiplicando (factor) en cada uno de los términos (común) del polinomio. Una vez hallados, se escriben delante de un paréntesis, multiplicando a éste, y dentro de él se escribe un polinomio formado cada término por la división entre el término primitivo y el factor común.
1) en este ejemplo, entre 4 y 20 el factor común es 4, porque ambos aceptancomo máximo divisor a ese número y entre las letras repetidas el factor común es esa letra con el menor exponente con que figura, es decir, x³.
luego escribimos: 4 x³ por ( 4x³ dividido por 4x³ y -20 dividido por 4x³)
es decir:
2) el factor común entre 14 y 49 es 7, porque es el mayor número que está contenido en ellos exactamente; entre las letras repetidas x es x.
y nos queda:
3)el único factor que hay es numérico y es 2:
y nos queda:
b) en este caso vamos a aplicar la siguiente fórmula:
siendo
4) si nosotros tuviésemos (x-2) (x+2) y aplicásemos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y sustracción nos quedaría así:
x.x+x.2-2.x-2.2 = x²+2x-2x-4 = cancelo y queda=x²-4

Pero ahora tenemos que factorizar x²-4,es decir, tenemos que hacer el proceso inverso.
En este caso a=1; b=0 ; c=-4
Aplico la fórmula y obtenemos
Sustituyo en la otra fórmula y nos queda: x²-4 = (x-2 ) (x+2)

5) si tenemos -3 (x-1) (x+2) y aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y sustracción nos queda: -3x²-3x+6
Inversamente, si tenemos que factorizar esta última expresión en laque
a=-3 ; b=-3 ; c=6 y aplicamos la fórmula de la raíz cuadrada de la que se obtienen -
Luego, resulta: -3x²-3x+6=-3 (x-1) (x+2)

Nota: hay expresiones que no pueden factorizarse aunque sean polinomios de segundo grado. Por ejemplo: x²+2 ; 3x²+5x+9.Averiguá porqué.

c) en este caso se aplica la Regla de Ruffini.

6) Debemos igualar a cero el polinomio y despejar x: x³-8=0→x³=8→x=→x=2
Este valor es el número que ubicamos en el rincón en la regla de Ruffini:
El divisor es : x-2 (equis menos el valor de equis obtenido anteriormente). Siempre es menos.
El cociente es: x²+2x+4
Finalmente, el polinomio queda así factorizado:
Dividendo= divisor por cociente: x³-8= (x-2) (x²+2x+4)

7) tenemos que factorizar
Igualamos a cero y despejamos x:

Es decir ,x=-3 es el número que utilizamos para ubicar en el rinconcito y para escribir el divisor, que nos quedará así: x- (-3) = x+3 (siempre es menos)
el cociente es: x²-3x+9

1
0
0
27
-3

-3
9
-27

1
-3
9...