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Supongamos que y es una función de x, o sea, y = f(x). La razón del cambio de y con respecto a x, o, como se dice, la derivada de y con respecto a x, se define del siguiente modo. Se da a x cualquierincremento, es decir Δ x (léase "incremento de x "), de modo que x sea x + Δ x; y f(x) o y, sea f(x + Δ x ). El incremento correspondiente, Δ y de y es su nuevo valor menos su valor inicial; o sea, Δy = f (x + Δ y) - f(x).
Como una relativa aproximación a la razón del cambio de y con respecto a x podemos considerar, por nuestro concepto intuitivo de una razón como un "promedio", el resultado dedividir el incremento de y por el incremento de x o sea:



Pero esto es sin duda demasiado tosco, pues tanto x como y varían, y no podemos decir que este promedio represente la razón decualquier valor particular de x . En consecuencia, disminuimos el incremento Δ x indefinidamente, hasta que en "el límite" Δ x se acerque a cero, y se sigue el "promedio" a través de todo el proceso:del mismo modo Δ y disminuye indefinidamente, y por último se acerca a cero; pero no se nos presenta, por tanto, con el símbolo sin sentido , sino con un valor límite definido, que es la razónpedida del cambio de y con respecto a x.
Para ver cómo se resuelve el problema supongamos que f(x) sea la función particular x 2 , de modo que y = x 2 . Siguiendo el procedimiento anterior tendremos:Nada se dice, sin embargo, acerca de los límites. Simplificando la ecuación anterior, tendremos:



y simplificando la ecuación en el mayor grado posible, supongamos ahora que Δ x seacerca a cero; veremos que el valor límite de es 2 x, y en general, si y = x n , el valor de será nx n-1 como se puede demostrar por el teorema del binomio.
Tal razonamiento no satisfará a unestudioso de hoy día, pero no podían hacer nada mejor los inventores del Cálculo, y ahora tendremos que conformarnos, si y = f(x), el valor límite de (siempre que tal valor exista) se denomina la...