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Relaciones



Parejas ordenadas

El orden de los elementos en un conjunto no interesa, por ejemplo: dados A = {1, 2} y B = {2, 1}, representan el mismo conjunto; o sea que para ser iguales nos importa únicamente que los conjuntos contengan los mismos elementos, sin importar el orden en que éstos se enumeren.
Definamos un nuevo concepto: una pareja ordenada consiste en dos componentes,de los cuales a uno se le designa como el primer componente, y al otro, el segundo. Dada una pareja ordenada donde a es el primer componente y b es el segundo, ésta se escribe (a, b).
De lo expuesto, se deduce entonces que, dadas dos parejas ordenadas: (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si se cumple que a = c y b = d .

El concepto de pareja ordenada se puede extender para elcaso de tres componentes (a, b, c) donde a es el primer componente de la terna, b el segundo y c el tercero. En general se puede extender el concepto para n componentes (n-tuplas).



Producto cartesiano

Consideremos dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
Ladefinición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos, si son tres hablaremos de ternas ordenadas de elementos, etc..


Entonces: se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B., se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer componente de la pareja pertenece al primer conjunto y el segundo componente al segundoconjunto.
simbólicamente: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}.

El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A; sólo se cumple la igualdad si los conjuntos A y B son coincidentes.
Por ejemplo si: A = {a, b} y B = {1, 2},
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)},
Queda claro que los conjuntos tienen elementos (parejas ordenadas) distintos.
Formas de representación

Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, su producto cartesiano resulta:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puederepresentar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de valores y viceversa. En el eje horizontal representamos los elementos del primer conjunto y en el vertical los valores del segundo conjunto.
A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.



Otra manera de visualizar, es a través deuna representación gráfica, donde se destaquen los elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen a B (diagrama de VENN). Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su pareja en el conjunto B.
A esta representación gráfica se le conoce como diagrama de flechas.




Una tercera forma de representar, es la conocida como diagramade árbol, que consiste en escribir los elementos según un orden jerárquico partiendo de un punto inicial, al que se subordinan los elementos del primer conjunto y a cada uno de éstos los del segundo.









Definición
Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que cumplencierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:



Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} y la relación R definida como “mayor que” que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)
El diagrama (VENN) es:

A...