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4.5 Serie de Taylor.
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entoncesla función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin
Estarepresentación tiene tres ventajas importantes:
* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no sepueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de númerosreales o complejos a, es la serie de potencias:



que puede ser escrito de una manera más compacta como

















4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
Representacion de funciones mediante la serie de taylor.
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto(a-r, a+r).

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie sonnecesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si esviable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Definición:

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:


que puede ser escrito de una manera más compacta como


donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota lan-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.










4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.
La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primergrado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada...