Jhosy

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
| "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.|
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| "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. |
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
| Si el orden no importa, es una combinación. |
| Si el orden sí importa es una permutación. |

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en dondeno nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
 
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
 

 
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
 

Donde se observa que,

 
La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetostomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamoscalcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
 
 
nPr = nCr r!
 
Y si deseamos r = n entonces;
 
nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1
 
¿Qué nos indica lo anterior?
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.
 Ejemplos:

1)      a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
 
Solución:
a. n =14, r = 5
 
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
COMBINACIONES

A) Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por nelementos de manera que:
* No entran todos los elementos.
* No importa el orden.
* Sí se repiten los elementos.

B) Combinaciones sin repetición:
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
* imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),* después lo cambiamos para que el orden no importe.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa | El orden no importa |
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 | 1 2 3 |
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
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PERMUTACIONESUna permutación es una combinación...