Ji cuadrada

En estadística y estadística aplicada se denomina prueba χ² (pronunciado como "ji-cuadrado" y a veces incorrectamente como "chi-cuadrado") a cualquier prueba en la que el estadístico utilizado sigue una distribución χ² si la hipótesis nula es cierta. Algunos ejemplos de pruebas χ² son:
• La prueba χ² de Pearson, la cual tiene numerosas aplicaciones:
• La prueba χ² de frecuencias
• La prueba χ²de independencia
• La prueba χ² de bondad de ajuste
• La prueba χ² de Pearson con corrección por continuidad o corrección de Yates
• La prueba de Bartlett de homogeneidad de varianzas

Prueba χ² de Pearson
La prueba χ² de Pearson es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste), indicando en qué medidalas diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis. También se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, mediante la presentación de los datos en tablas de contingencia.
La fórmula que da el estadístico es la siguiente:

Cuanto mayor sea el valor de χ2, menos verosímil es que la hipótesis sea correcta. De la misma forma,cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.
Los grados de libertad gl vienen dados por :
gl= (r-1)(k-1). Donde r es el número de filas y k el de columnas.
• Criterio de decisión:
Se acepta H0 cuando . En caso contrario se rechaza.
Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significación estadística elegido.Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda if
Varianza
Coeficiente de simetría
Función característica
Prueba ji Cuadrado
Esta prueba se usa cuando se quiere probar la hipótesis de que unos datos muéstrales provienen de una determinada distribución.
La prueba chi cuadrado sebasa en la comparación entre la frecuencia observada en un intervalo de clase y la frecuencia esperada en dicho intervalo, calculada de acuerdo con la hipótesis nula formulada. Es decir, se quiere determinar si las frecuencias observadas en la muestra están lo suficientemente cerca de las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula.
Para esta prueba es necesario agrupar o distribuir lasobservaciones de la muestra en intervalos de clase, preferiblemente del mismo tamaño. El estadístico de prueba está definido como:

donde: Oi = Total de valores que caen en el intervalo i.
Ei = Número esperado de valores en el intervalo i.
k = Número de intervalos de clase en que se distribuyen las observaciones.
Si los límites del intervalo de clase i están dados por Xi-1 y Xi, como lo ilustra lapresente gráfica, el número esperado de observaciones para ese intervalo está dado por:
Ei =nPi
donde Pi representa la probabilidad de que una observación quede en el intervalo i, de acuerdo con función de densidad que se esté analizando, y n es el número total de observaciones.
La probabilidad de que una observación caiga en el intervalo i está dada por:


donde f0(x,) es la función dedensidad de la variable aleatoria X, bajo la hipótesis nula.
Para ver que distribución sigue el estadístico X², considere la siguiente situación:
Suponga que las observaciones de la muestra pueden clasificarse en dos intervalos o categorías. Sea Y1 el número de observaciones que caen en la categoría 1, y sea P1 su respectiva probabilidad.
Si el tamaño de muestra es lo suficientemente grande, Y1(que sigue una distribución binomial) puede aproximarse por una distribución normal con valor esperado nP1 y varianza nP1(1-P1). Por lo tanto, la variable Z definida a continuación sigue una distribución normal estándar, y Z² una distribución chi cuadrado con un grado de libertad.


Si definimos Y2 como Y2 = n - Y1, y P2 = 1 - P1, se tiene que Z² se puede desarrollar de la siguiente manera:...