ji cuadrado


4.4 Ji Cuadrado

Los modelos de las distribuciones t, Ji Cuadrado y F son más complejos que los modelos Binomial y Normal, por lo que es más práctico definir estas distribuciones de la siguiente manera.
Si una variable es obtenida según la expresión

donde
a) Las puntuaciones z han sido obtenidas de datos que se distribuyen segun el modelo Normal, y
b) Cada puntuación z esindependiente de las otras.
la variable T se distribuirá según el modelo Ji Cuadrado con "k" grados de libertad.
Principales características
a) La forma de la distribución es asimétrica positiva, y se acerca a la distribución Normal como mayor sea el número de grados de libertad (g.l.). Ejemplo con 5 g.l.:

b) Las puntuaciones Ji Cuadrado no pueden tomar valores negativos.
c) La función de distribuciónde la distribución Ji Cuadrado está tabulada para algunos valores que son de interés en Estadística Inferencial
DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Paraestimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n esel tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y  la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribucionesX2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tresdistribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos  (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertadse usa el símbolo  (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de  bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportarla varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones,...