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CAPITULO 8

MATRIZ DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD DE
UN ESTRUCTURA A PARTIR DEL CONCEPTO

RESUMEN
Se presenta el cálculo de las matrices de rigidez K y de flexibilidad F de una estructura
usando el concepto. En los capítulos posteriores a partir del concepto se obtendrá en forma práctica
la matriz de rigidez.
Posteriormente se trabaja con la matriz de transformación de coordenadas paraencontrar las
matrices K y F . Finalmente se presenta un algoritmo orientado al uso del computador para
estructuras con elementos flexibles para encontrar las matrices indicadas en otro sistema de
coordenadas.

8. 1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA K
8.1.1 Definición
En el capítulo 6 se indicó que un término cualquiera de la matriz de rigidez de una estructura
k ij , es el valor de lacarga generalizada Qi correspondiente a la deformada elemental q j = 1 y
demás nulas. Por consiguiente si se desea calcular, por ejemplo, los elementos de la primera
columna de la matriz de rigidez de una estructura se deberá calcular el vector de cargas
generalizadas que corresponde al estado de desplazamiento elemental q1 = 1 y qi = 0, i ≠ 1 . De
igual forma se procederá con las demás columnasde K .

8.1.2

Procedimiento de cálculo

El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez de una estructura K a partir del
concepto es el siguiente:

Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE

234

1) Construir la deformada elemental cuya columna se desea calcular.
2) Encontrar las deformaciones p en cada uno de los elementos asociados a la deformada
elemental. Es un problemade geometría.
3) Transformar las deformaciones p de cada elemento en cargas internas P por medio de la
matriz de rigidez del elemento k . La ecuación matricial que se utiliza es: P = k p .

4) Usando la estática se realiza el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la
estructura.
5) Encontrar el equilibrio de cada una de las juntas de la estructura.
6) En el paso anterior seobtienen las cargas que actúan sobre la estructura y el vector de
cargas generalizadas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.

8.1.3

Primera forma de cálculo numérico

Por didáctica únicamente se denomina primera forma de cálculo de la matriz de rigidez de
una estructura a aquella en que se utiliza como sistema de coordenadas del elemento el indicado en
la figura8.1

Figura 8.1 Sistema P − p para la primera forma de cálculo.
Se recuerda que las deformaciones p se obtienen con las siguientes ecuaciones:

p1 = θ1 −

v 2 − v1
L

p2 = θ 2 −

v 2 − v1
L

p3 = u 2 − u1

La matriz de rigidez de un elemento para el sistema de coordenadas indicado es:

4 EI
L
2 EI
k=
L
0

•

2 EI
L
4 EI
L
0

0
0
EA
L

EJEMPLO N.- 1Encontrar la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura
8.2.1 si todos los elementos tienen la misma sección transversal y la misma longitud. Encontrar
aplicando el concepto y no considerar el efecto de corte.

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Figura 8.2.1

•

235

Figura 8.2.2

Figura 8.2.3

SOLUCIÓN

Por ser todos sus elementos flexibles se tieneseis grados de libertad. En consecuencia el
sistema de coordenadas de la estructura Q − q es el indicado en la figura 8.2.2. Para una mejor
compresión en la figura 8.2.3 se indica la numeración de los elementos.
En la figura 8.2.4 se indica el sistema de coordenadas de miembro P − p de cada uno de
los elementos de la estructura.

Figura 8.2.4 Sistema P − p de la estructura.
Paradiferenciar las deformaciones y cargas internas se escribe entre paréntesis y como
subíndice el número del elemento al cual corresponde.
De acuerdo al procedimiento indicado en el apartado anterior para encontrar los elementos de
la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura se procede de la siguiente manera:
1)

Deformada elemental

q1 = 1 y qi = 0, i ≠ 1 .

Figura 8.2.5 Diagrama...