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VECTORES Y ESPACIO VECTORIAL
Vector:
Es una n-upla ordenada donde cada uno de sus elementos pertenecen a un campo escalar y que cumple con las siguientes condiciones:
Sean y vectores y h un escalar; entonces:
1.
2.
3.

Ejemplos:
1.- Si y ; hallar los valores de las variables que hacen que los dos vectores sean iguales.
Según la definición tenemos que si entonces.
2.- Si y ; hallar la suma de los vectores A y B.
Según definición tenemos que:
3.- Si y h =2; hallar hA.
Según la definición tenemos que:

Los vectores serán representados mediante una letra mayúscula o por sus elementos ordenados entre paréntesis, los cuales se representan mediante letra minúscula y se denominan componentes del vector.

Componentes de un vector:
Es larepresentación modular del vector en los ejes del sistema de referencia.


Sistema de referencia:
Es un conjunto de líneas rectas perpendiculares entre si, que se cortan en un punto común llamado origen.

Entre el conjunto de vectores de “n” componentes y el sistema de referencia de “n” ejes” existe una relación uno-a-uno, es decir, que por cada vector del conjunto existe uno y solo un puntoen sistema de referencia y viceversa. “Podemos decir que entre ambos conjunto existe un isomorfismo”

Vector localizado: Es aquel vector cuyos extremos (final e inicial) son conocidos.
Sean y dos puntos extremos de un vector A, decimos que A es el vector localizado , el cual está definido por

Verifiquemos la definición de suma de vectores con la ya conocida gráficamente:Norma de un vector
Es la longitud o modulo del vector. Se representa por el vector encerrado entre doble barras. Es decir sea A un vector, decimos que la norma de A viene dada por .
La norma de un vector esta definida por:
Sea la norma de A será: o sea
Ejemplo:
1.- Hallar la norma del vector .

2.- Hallar el valor de “x” tal que la norma del vector , sea igual a 5unidades.
Tenemos que y como
luego tenemos que


Vector nulo es aquel cuyas componentes son todas iguales a cero, lo representaremos por
Propiedades de la norma
1.- La norma de un vector siempre es positiva o cero; siendo cero si y sólo si el vector es nulo. Es decir
2.- La norma de un vector suma será menor o igual a la suma de las normas de los vectores sumandos. Esdecir

3.-
Prueba de propiedad No. 3
Sea y “h” un escalar tenemos que:

luego

donde
por tanto
4.-

Vector unitario: es aquel vector cuya norma es igual a la unidad. Es decir si A es un vector, decimos que es unitario si y sólo si .
Ejemplo: Pruebe si el vector es un vector unitario.

por lo tanto A es un vector unitario.
Vector unitario en ladirección de otro vector: es aquel vector unitario que define la dirección del vector dado, el cual viene dado por el cociente entre el vector y su norma. Es decir, si A es un vector se define el vector unitario en la dirección de A como:

Ejemplo: Hallar el vector unitario en la dirección del vector


Ángulos directores de un vector dado: son los ángulos que forma el vector con cadauno de los ejes del sistema de referencia.

Cosenos directores: son los cosenos de los ángulos directores de un vector dado.


Según vimos en la definición de vector unitario en la dirección de otro vector tenemos que:
podemos ver que las componentes de este vector son justamente los cosenos directores del vector A, por lo tanto tenemos que: lo cual verifica el por que el vectorunitario en la dirección de otro vector representa la dirección del vector dado. Generalizando tenemos que si sus cosenos directores son:
, .
Vectores opuestos: dos vectores son opuestos cuando sus componentes correspondientes son opuestas. Es decir, si su opuesto será .
Vectores paralelos o asociados o ligados: dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección, o sea, cuando...