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Ejercicios y problemas de Termodinámica I

CAPÍTULO 2º
Trabajo en termodinámica. Relaciones entre las derivadas parciales. Primer
principio de la termodinámica. Coeficientes calorimétricos.

Resumen de teoría:
Trabajo:
Alambre metálico: δW = − fdl
Cambio de volumen: δ W = pdV
Torsión de un alambre: δ W = − µ dθ
Pila eléctrica reversible: δW = −ε dq
Polarización dieléctrico: δW = − EdPLámina superficial de un líquido: δ W = −σ ·dA
Sistema magnético: δW = − µ0 VHdH − µ0 VHdm
− µ0 VHdm Aumento del campo en el vacío.
− µ0 VHdH Aumento del momento magnético del material.
Relaciones entre las derivadas parciales:
Dada una función implícita f ( x, y, z ) = 0 entre tres variables termodinámicas, de las
cuales dos pueden seleccionarse como independientes, pudiéndose escribiresto de tres
formas alternativas:
x = x( y, z )
y = y ( x, z )
z = z ( x, y )
Según el teorema fundamental de la diferenciación:
⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂y ⎞
dx = ⎜ ⎟ dy + ⎜ ⎟ dz
dy = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dz
⎝ ∂x ⎠ z
⎝ ∂z ⎠ x
⎝ ∂z ⎠ y
⎝ ∂y ⎠ z

⎛ ∂z ⎞
⎛ ∂z ⎞
dz = ⎜ ⎟ dy + ⎜ ⎟ dx
⎝ ∂x ⎠ y
⎝ ∂y ⎠ x
De estas tres ecuaciones, despejando, es posible deducir expresiones diferenciales deltipo:
−1

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂x ⎠ z

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =1
⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂x ⎠ z

⎛ ∂x ⎞
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −1
⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x
⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂z ⎠ x
⎝ ∂y ⎠ z
Imaginemos que dividimos por dw las tres relaciones diferenciales:
dx ⎛ ∂x ⎞ dy ⎛ ∂x ⎞ dz
dy ⎛ ∂y ⎞ dx ⎛ ∂y ⎞ dz
=⎜ ⎟
+⎜ ⎟
=⎜ ⎟
+⎜ ⎟
dw ⎝ ∂x ⎠ z dw ⎝ ∂z⎠ x dw
dw ⎝ ∂y ⎠ z dw ⎝ ∂z ⎠ y dw
dz ⎛ ∂z ⎞ dy ⎛ ∂z ⎞ dx
=⎜ ⎟
+⎜ ⎟
dw ⎝ ∂y ⎠ x dw ⎝ ∂x ⎠ y dw
Y considerásemos como constante una de variables x, y, z, entonces obtendríamos
relaciones del tipo:
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂w ⎞
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂w ⎞
⎜ ⎟ =⎜
⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂w ⎠ z ⎝ ∂y ⎠ z
⎝ ∂y ⎠ z ⎝ ∂y ⎠ w ⎝ ∂w ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ z

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Julián Moreno Mestre

Primerprincipio de la termodinámica:
dU = δ Q − δ W
Capacidades caloríficas en sistemas hidrostáticos y sus valores:
⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂H ⎞
Cp = ⎜
CV = ⎜
⎟
⎟
⎝ ∂T ⎠V
⎝ ∂T ⎠ p
- Monoatómicos: CV = 1.5nR y C P = 2.5nR
- Biatómicos: CV = 2.5nR y C P = 3.5nR
Relación de Mayer:

α 2TV
⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞
C p − CV = T ⎜
=
= nR
⎟ ⎜
⎟
κT
⎝ ∂T ⎠V ⎝ ∂T ⎠ p
Coeficiente adiabático y trabajo adiabático,transformaciones adiabáticas:
C
piVi − p f V f
Wad =
γ= p
CV
γ −1
TV γ −1 = cte

pV γ = cte

Coeficientes calorimétricos de un sistema p, V, T:
δ Q = C p dT + hdp
δ Q = CV dT + ldV

p1−γ T γ = cte

δ Q = λ dV + µ dp

C p − CV
⎛ ∂T ⎞
l = ( C p − CV ) ⎜
⎟ =
βV
⎝ ∂V ⎠ p

Cp
⎛ ∂T ⎞
⎟ =
⎝ ∂V ⎠ p βV

λ = Cp ⎜

⎛ ∂T ⎞
CV
κ
= CV T
⎟ =
β
⎝ ∂p ⎠V α p

µ = CV ⎜

CV − C p
⎛∂T ⎞
⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂V ⎞
κ
h = ( CV − C p ) ⎜
= ( CV − C p ) T = l ⎜
⎟ =
⎟ = λ⎜
⎟ +µ
αp
β
⎝ ∂p ⎠V
⎝ ∂p ⎠T
⎝ ∂p ⎠T

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Ejercicios y problemas de Termodinámica I

Problemas:
1º

Determine el trabajo realizado en la expansión isoterma de un mol de gas ideal a la
temperatura de 300 K cuando:
a) El gas se expansiona en una etapa, desde 10 atm a 1 atm, contra una presión
exteriorconstante de 1 atm.
b) La expansión se realiza en dos etapas. En la primera el gas se expansiona desde
10 a 5 atm, contra una presión exterior constante de 5 atm. En la segunda el gas
se expansiona desde 5 a 1 atm, contra una presión exterior constante de 5 atm. En
la segunda el gas se expansiona desde 5 atm a 1 atm, contra una presión exterior
constante de 1 atm.
c) La expansión se realiza entres etapas: 1) desde 10 a 5 atm a presión exterior
constante de 5atm, 2) desde 5 a 2 atm a presión exterior constante de 2 atm, 3)
desde 2 a 1 atm a presión exterior constante de 1 atm.
d) La expansión se realiza en 9 etapas, desde 10 a 1 atm, reduciendo
progresivamente presión exterior en incrementos de 1 atm.
e) La expansión se realiza en un número infinito de etapas, haciendo que la...