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Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de lasutilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos seencuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, ladistancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia quedadeterminada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 yemplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)









d = 5 unidades
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntosen el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:

(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmentode recta



Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulorectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:



Pero: ;

y

Luego,





En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre...