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Elementos
de álgebra lineal
y geometría
Espacios vectoriales, matrices,
determinantes, espacio afín y euclídeo
Gerard Fortuny Anguera
Ángel Alejandro Juan Pérez
PID_00151937

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Elementos de álgebra lineal y geometría

Índice

Introducción ............................................................................................

5

Objetivos...................................................................................................

6

1. Ejemplo introductorio .....................................................................

7

2. Espacios vectoriales ..........................................................................

8

2.1. Vectores en el espacio R................................................................

8

n

2.2. Definición de espacio vectorial real ............................................... 10
2.3. Combinación lineal. Subespacio generado .................................... 12
2.4. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión
de un espacio vectorial ................................................................... 13
3. Matrices............................................................................................... 17
3.1. Concepto de matriz ........................................................................ 17
3.2. Tipos de matrices ........................................................................... 18
3.3. Operaciones con matrices. Matriz inversa ..................................... 20
4. Determinantes................................................................................... 23
4.1. Determinante asociado a una matriz cuadrada
de orden 2 o 3 ................................................................................. 23
4.2. Determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 4
o superior ........................................................................................ 24
4.3. Propiedades de losdeterminantes .................................................. 27
4.4. Cálculo de la matriz inversa ........................................................... 30
4.5. Rango de una matriz. Cálculo mediante determinantes ................ 31
4.6. Aplicaciones a los espacios vectoriales ........................................... 35
4.7. Matriz de cambio de base en un espacio vectorial......................... 36
5. Ecuaciones de rectas y planos ........................................................ 39
5.1. Ecuaciones de una recta en el plano .............................................. 39
5.2. Ecuaciones de una recta en el espacio ............................................ 41
5.3. Ecuaciones de un plano en el espacio ........................................... 42
6. Productoescalar y ortogonalidad ................................................ 44
6.1. Producto escalar, módulo de un vector y ángulo
entre vectores .................................................................................. 44
6.2. Vectores y bases ortogonales en Rn ................................................ 46
6.3. Proyecciones ortogonales............................................................... 49
6.4. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt ............................. 51

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Resumen .................................................................................................... 54
Ejercicios de autoevaluación ............................................................... 55
Solucionario............................................................................................. 60
Glosario ..................................................................................................... 73
Bibliografía .............................................................................................. 74

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Introducción

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