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CÁLCULO 3

Funciones de varias variables curvas de nivel

Departamento de Ciencias

Con las dimensiones mostradas del siguiente
sólido, calcula:

z
x

El área de la base inferior:

A=x.y
Variable dependiente: A
Variables independientes: x ; y

y

El volumen del sólido:
V=x.y.z
Variable dependiente: V
Variables independientes: x , y ; z

Existen muchas situacionesprácticas en las que una cantidad
de interés depende de los valores de dos o más variables.

Responda las siguientes preguntas:
• ¿ Qué es una función real de variable real?
• ¿ Cómo es el dominio de una función real de una
variable real?
• ¿ En qué espacio está la gráfica de una función real de
una variable real?
• Para una función real de dos variables: ¿Cómo es su
dominio y su gráfica?Suponga que la función
z=f(x,y)=(x2+3y2)exp(1-x2-y2), gráficamente
representa a la superficie de una montaña, donde las líneas curvas paralelas
a la superficie representan las marcas en tierra cuando sube el agua en una
inundación:

¿Cómo se le
llama a las
curvas que deja
el nivel del
agua en la
superficie de la
montaña?

¿Cómo se le
llama al conjunto
de curvas
proyectadas
sobreel plano de
la base?

¿Qué
criterios
se utilizan
para
graficar las
curvas de
nivel?

Curvas de Nivel

Mapa de contorno

¿Qué información puedes obtener respecto a la
geografía del terreno a partir las curvas de nivel?

CASO 01

MONTAÑAS

CASO 02

V
A
L
L
E

LOGRO DE SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y problemas sobre
funciones
devarias
variables,
determinando su dominio, gráfica;
curvas de nivel, utilizando definiciones
y propiedades, de acuerdo a las
características de la ecuación obtenida,
realizando los procedimientos de forma
ordenada y coherentemente.

TEMARIO

•
•
•
•
•
•
•

Vistas Isométricas de un punto sobre el espacio
Funciones reales de dos variables reales.
Dominio y Rango de una Funciónde Varias Variables
Álgebra de Funciones Reales de varias variables
Gráfica de Funciones Reales de Varias Variables:
Curvas de nivel.
Trazas

1. VISTAS ISOMÉTRICAS DE UN PUNTO SOBRE ESPACIO
El planos XYZ es un espacio que tiene ocho partes llamadas octantes

(0,y,z)

(x,0,z)

2. FUNCIONES EN DOS VARIABLES
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par
ordenadode números reales (x,y) de un conjunto D, un número real
único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Conjunto de Partida de f y su imagen es el
conjunto de valores que toma f
PROCESO

D

x
y

1 entrada

Función
f

1 salida

z = f(x,y)

2 entrada

Al conjunto de entradas se llama dominio de f y se denota por
Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f
y sedenota por Rang(f)

2.1 Funciones Reales de Varias Variables:
1) Una función de la forma:

f :D
x


y f

 x   x2

se llama función real de 1 variable real.

2) Una función de la forma:

2
f :D

z f
 x, y 

 x, y  

x2  y 2

se llama función real de 2 variables reales.

3) Una función de la forma:

f :D
 x, y, z 

3


w  f  x, y , z   2x  5 y  z

se llama función real de 3 variables reales.
4) Una función de la forma:

f :D
 x1 , x2 ,..., xn 

n


z f

 x1 , x2 ,..., xn  (con n  2 )

se llama función real de varias variables.

,

3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Los conceptos conocidos para funciones de una variable
tienen su equivalente para funciones de n variables:

•Llamaremos dominio de una función al conjunto de puntos para
los que la función tiene sentido.
• Llamaremos recorrido o imagen de una función al conjunto de
valores que toma la función.
Nuestro estudio se centrará fundamentalmente en funciones de
dos variables, escribiéndose entonces:

Dominio:

Dom( f )  D  ( x, y ) 

2

/  f ( x, y )

Imagen:

Im( f )   f ( x, y ) / ( x,...