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Sucesiones de n´
umeros reales

1
1.1

N´
umeros reales

En el conjunto de los n´
umeros reales tenemos definidas dos operaciones binarias, suma y producto, y una relaci´on de orden
(a, b) → a + b
(a, b) → ab
a ≤ b.
Ellos cumplen los siguientes axiomas:
A1 Conmutatividad de la suma. Para todo par ordenado (a, b) de n´
umeros
reales, a + b = b + a.
A2 Asociatividad de la suma Para toda terna (a,b, c) de n´
umeros reales,
(a + b) + c = a + (b + c).
A3 Existencia de elemento neutro, o “cero”, para la suma. Existe un
n´
umero real, que denotamos “0”, con la condici´on de ser a + 0 = a para
todo n´
umero real a.
A4 Existencia de elemento inverso, u opuesto, para la suma. Existe, para
cualquier n´
umero real a, un n´
umero real, −a, que satisface a + (−a) = 0.
A5 Conmutatividad del producto.Para todo par ordenado de n´
umeros reales
(a, b), se tiene ab = ba.
A6 Asociatividad del producto. Para toda terna de n´
umeros reales (a, b, c),
se tiene (ab)c = a(bc).
A7 Existencia de unidad para el producto. Existe un n´
umero real, “1”,
1 = 0, tal que a 1 = a para todo n´
umero real a.
A8 Existencia de elemento inverso para el producto. Para todo n´
umero real
a, a = 0, existe un n´
umeroreal, a−1 , o 1/a, que satisface aa−1 = 1.
A9 Distributividad del producto con respecto a la suma. Para toda terna
de n´
umeros reales (a, b, c), vale que a(b + c) = ab + ac.
A10 Transitividad del orden. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
A11 Antisimetr´ıa del orden. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

1 Sucesiones de n´
umeros reales

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A12 Para dos n´
umeros reales cualesquiera a, b, es a ≤ b, o b≤ a.
A13 a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c para todo n´
umero real c.
A14 0 ≤ a y 0 ≤ b implican 0 ≤ ab.
A15 Axioma de completitud. Todo conjunto acotado superiormente tiene
supremo.
De estos axiomas se deducen las siguientes propiedades:
P1 El elemento neutro para la suma es u
´nico, pues si hubiera dos, digamos
0 y 0 , ser´ıa 0 = 0 + 0 = 0 .
P2 a + b = a + c ⇒ b = c. En particular, el opuesto de a, −a, es u´nico.
Luego −(−a) = a. Escribimos a − b en lugar de a + (−b).
P3 ab = 0 es equivalente a a = 0 o b = 0.
P4 El conjunto de los n´
umeros reales, sin el 0, satisface los mismos axiomas
con respecto al producto (Axiomas 5, 6, 7 y 8) que el conjunto de todos los
n´
umeros reales con respecto a la suma (Axiomas 1, 2, 3 y 4). Luego aqu´ellos
satisfacen las mismas propiedades que ´estos para la suma. Asaber,
el elemento neutro para el producto es u
´nico.
Si a = 0 y ab = ac, entonces b = c. En particular, el inverso es u
´nico.
Adem´as (a−1 )−1 = a.
Si b = 0, entonces ab−1 (= a(1/b)) tambi´en se escribe a/b.
El cero no tiene inverso, ya que a0 = 0 para todo n´
umero real a.
P5 Si a = 0, b = 0, entonces (ab)−1 = a−1 b−1 .
P6 Se tiene (−a)b = a(−b) = −(ab). En particular, −a = (−1)a.
P7 Cuando a ≤b y a = b, se escribe a < b. As´ı, a ≤ b es equivalente a
a < b o a = b.
P8 Para dos n´
umeros reales cualesquiera a, b vale una y s´olo una de las
siguientes relaciones
a < b, a = b, b < a
(b < a tambi´en se escribe a > b).
P9 a ≤ b y b < c implican a < c.
P10 a ≤ b y c ≤ d implican a + c ≤ b + d. Si adem´as a < b o c < d, entonces

1 Sucesiones de n´
umeros reales

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a + c < b + d.
P11 a ≤ bes equivalente a a + c ≤ b + c. a < b es equivalente a a + c < b + c.
P12 Las relaciones a ≤ b, 0 ≤ b − a, a − b ≤ 0, −b ≤ −a, son equivalentes.
Las siguientes relaciones son tambi´en equivalentes: a < b, 0 < b − a, a − b <
0, −b < −a.
P13 Si a ≥ 0, b ≥ 0, entonces a + b ≥ 0. M´as a´
un, es a + b > 0 o a = b = 0.
P14 Para cualquier n´
umero real a, se define
|a| =

a si a ≥ 0
−a si a < 0.

Se tiene| − a| = |a|, |a| = 0 si y s´olo si a = 0.
P15 Si α > 0, entonces la relaci´on |a| ≤ α es equivalente a −α ≤ a ≤ α.
|a| < α es equivalente a −α < a < α.
P16 Para a, b reales cualesquiera, se tiene
|a + b| ≤ |a| + |b|,
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
P17 Si c ≥ 0, entonces a ≤ b ⇒ ac ≤ bc.
P18 Regla de los signos
{a ≥ 0 y b ≤ 0} ⇒ ab ≤ 0
{a ≤ 0 y b ≤ 0} ⇒ ab ≥ 0
{a > 0 y b > 0} ⇒ ab > 0
{a > 0 y b <...