joaquin

Teorema de Tales




x
Tales de Mileto.

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos almatemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tieneniguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de suhipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados sonproporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, seobtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

x
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo,se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.


Lo que se traduce en la fórmula



tales001






Ver: PSU: Geometría;

Pregunta01_2005

Pregunta 05_2006

Hagamos un ejercicio como ejemplo:




En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.

Apicamos la fórmula, y tenemos

tales002x


Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguientecorolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre...