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Sucesiones – Matemática II

1) Se define la sucesión an de la siguiente forma:

a0>0
an+1=1+an2+3an . an

i) Probar que ∀n, an>0
ii) Estudiar monotonía de an
iii)Hallar limn→+∞an
iv) Calcular limn→+∞an+1-an2an
v) calcular limn→+∞0n(an-an+1)

2) Sea la sucesión (an) definida de la siguiente forma:
a0=2
an+1=14an+6 ;n≥0
i) Demuestrapor Inducción Completa que ∀n ϵ N ; an>0 ; an<8
ii) Estudiar monotonía de (an)
iii) Hallar, si existe, limn→+∞an
iv) Escribir una fórmula para an en función de n
v)Clasifica an3n

3) i) Sea an : a1=2 y 4 . an+1=3+an2 ; demuestra que (an) es monótona decreciente y que está acotada. Deduce límite de (an)

4) Sea an / a1=12 y ∀n ϵ N / n≥1 se cumple quean+1=an-an2
a) Demostrar que:
i) an≥0 ∀n ϵ N / n≥1
ii) (an) es monótona decreciente
iii) an≤1n ∀n ϵ N / n≥1
b) Calcular:
i) limn→+∞an

5) Dada la sucesión (an)definida recurrentemente por:

a0=1,5
an+1=2an2-103

Investiga si∀n ; an<2 ;si an↓ y si tiene límite.
Hallar limn→+∞an y limn→+∞an+1-anan

6) Se define la sucesión (an) tal que:a0>0
an+1=3an3+2an
Estudia monotonía, signo y limn→+∞an

7) Se define una sucesión recurrente (an) de la siguiente forma:

a0=1
an+1=an2+12an n≥0

i) Demuestra que (an)es constante
Supongamos que de aquí en más, a0=2
ii) Investiga si ∀n ; an>1
iii) Prueba que (an)↓
iv) Halla limn→+∞an

8) Sea (an):

a0=1
an+1=2an+3

i) Prueba que∀n ; 0<an<3
ii) Estudia monotonía de (an)
iii) Calcula limn→+∞an
iv) Calcula limn→+∞an+1-anan-3

9) Definimos la sucesión recurrente (an) de esta forma:

a0>0an+1=31+an38+3an . an n natural

i) Demuestra que para todo n natural an>0
ii) Investiga si (an) es monótona decreciente estricta
iii) ¿La sucesión (an) es convergente? Hallar...