Jorge

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13 M´todos aproximados en mec´nica cu´ntica e a a

13.7.

Principio Min-Max de Weyl

’ Si H es el hamiltoniano semiacotado de un sistema y E0 ≤ E ′ ≤ . . . < E ∗ ≡ ´ [σes (H)] , ınf σes (H) = σ(H) − σp (H) (13.110)

son los valores propios de H a la izquierda de su espectro esencial, repetidos cada uno tantas veces como sea su multiplicidad, entonces se demuestra [Thirring W.:’Quantum Mechanics of atoms and molecules’ Springer-Verlag 1981] que:
j−1

Ei+k =
k=0

Di+j ⊂D(H) Dj ⊂Di+j

´ ınf

sup ´ ınf

TrDj (H) TrDj (H) (13.111)

=

Di ⊂D(H) Di ⊥Dj ⊂D(H)

sup

donde TrDj (H) es la traza de la matriz asociada al operador H en una base ortogonal de Dj . Si el n´mero de autovalores inferiores a E∗ fuese finito, incluidas multiplicidades, e igual a N, u laf´rmula (13.111) debe ser interpretada tomando Ek ≡ E∗ , ∀k > N . Cuando i + j − 1 < N o la familia de subespacios Di+j puede restringirse a subespacios subtendidos por los vectores propios de H, sin que se altere la validez de (13.111) •’ La desigualdad (13.109) puede ahora demostrarse f´cilmente. Tomando en (13.111), i = 0, y a j = 2 tenemos E0 + E ′ = ´ ınf [TrD2 (H)] , (13.112)

D2 ⊂D(H)

por loque si D2 = lin(|Ψ0 >, |Ψ >) tendremos que E0 + E ′ ≤ TrD ′ (H) =< H >Ψ0 + < H >Ψ = E 0 + < H >Ψ , equivalente a (13.109). Una consecuencia sumamente importante del principio Min-Max es el llamado M´todo de e Rayleigh-Ritz: Si Dn ⊂ D(H) entonces los valores propios E0 (Dn ) ≤ E ′ (Dn ) ≤ . . . ≤ En (Dn ) (13.114) (13.113)

de la matriz que representa H en Dn , son cotas superiores de losprimeros n-autovalores exactos de H, o sea E0 ≤ E0 (Dn ), E ′ ≤ E ′ (Dn ), . . . , En ≤ En (Dn ). (13.115)

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Al ir aumentando la dimensi´n del subespacio prueba Dn (es decir considerando una sucesi´n o o D ′ ⊂ D2 ⊂ . . . ⊂ Dn ⊂ . . .) lo niveles Ei (Dn ) que as´ se vayan obteniendo ir´n decreciendo y es ı a de esperar que bajo ciertascircunstancias permitan aproximar Ei tanto como se quieran. NOTA: Di+j indica que se incrementa el subespacio Di a˜adiendo j vectores linealmente inn dependientes al subespacio Di , y si hablamos de Di y Dj se indican subespacios ortogonales Di ⊥ Dj . La demostraci´n del teorema se obtendr´ por aplicaci´n sucesiva del teorema Mino a o Max con i = 1, 2, . . . , n, j = 1 fijando los sucesivos D ′ , D2 , . . .,ortogonales y ´ptimos en el o sentido marcado por el teorema alrededor de la traza de H en dichos subespacios, esto es una forma alternativa de diagonalizar H en el subespacio Dn . En la pr´ctica el teorema de Raileigh-Ritz nos dice que si tenemos un hamiltoniano H, y un a conjunto n de vectores linealmente independientes {φk }n , entonces la diagonalizaci´n de H en o 1 este subespaciorestringido, esto es las soluciones de la ecuaci´n o
n

ck ( φn | H | φk − E φn | φk ) ,
k=1

(13.116)

proporciona n n´meros E ′ (Dn ), E2 (Dn ), . . . , En (Dn ) que verifican (13.115), esto es son cotas u superiores a los primeros n estados de H sin contar degeneraciones. El m´todo variacional proporciona cotas superiores a los autovalores de un hamiltoniano, un e complemento ideal ser´ disponer deun procedimiento que d´ cotas inferiores. Para ello vamos ıa e a considerar una funci´n de onda arbitraria | Ψ y consideraremos las cantidades Ψ | H | Ψ o y Ψ | H2 | Ψ . Entonces si desarrollamos en t´rminos de las autofunciones de H esta funci´n, e o |Ψ >=
k ck

| Ψk , podemos escribir =
k

Ψ|H|Ψ Ψ | H2 | Ψ

c∗ ck Ek , k
2 c∗ ck Ek , k k k

(13.117) c∗ ck = 1. k (13.118)

=

Apartir de aqu´ se puede escribir que ı Ψ | H2 | Ψ − Ψ | H | Ψ
2

=
k

|ck |2 [Ek − Ψ | H | Ψ ]2 .

(13.119)

Habr´ entonces alg´n nivel de energ´ Eℓ para el que a u ıa [Eℓ − Ψ | H | Ψ ]2 ≤ [Ek − Ψ | H | Ψ ]2 , Entonces Ψ | H2 | Ψ − Ψ | H | Ψ
2

k = 1, 2, . . . .

(13.120)

≥ [Eℓ − Ψ | H | Ψ ]2 .

(13.121)

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