jornada matematica

150 PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS
COCHABAMBINAS
ALVARO HERNANDO CARRASCO CALVO
CARLOS ESTEBAN GONZALES CASTELLON
2010

ii

Índice general

1. Problemas Olimpiada Matemática “Gauss”

1

2. Soluciones Olimpiada Matemática “Gauss”

13

3. Problemas Olimpiada Matemática “Euler y Departamental”

33

4. Soluciones Olimpiada Matemática “Euler y Departamental”

51

5.Miscelanea de problemas de Olimpiadas Matemáticas

99

iii

iv

ÍNDICE GENERAL

150 PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS COCHABAMBINAS
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
Segunda edición
ALVARO HERNANDO CARRASCO CALVO
Universidad Mayor de San Simón
Departamento de Matemáticas
CARLOS ESTEBAN GONZALES CASTELLON
Universidad Mayor de San Simón
Departamento de Matemáticas
2010
c
°2010(segunda edición) por Centro de Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática e
Informática MEMI
Todos los derechos has sido reservados.
Ni todos ni parte de él pueden ser reproducidos en forma alguna sin el permiso de los autores
Impreso en Cochabamba Bolivia

ÍNDICE GENERAL
Dedico esta obra a:
Andres Alvaro y Juan Pablo, mis queridos hijos
Ana Patricia, mi amada esposa

Alvaro H.Carrasco C.

v

vi

ÍNDICE GENERAL
Las olimpiadas matemáticas han constituido un espacio donde aparece el reto no solo de
conocer más sino de resolver problemas. Resolver problemas tiene que ver con enfrentarse
a una situación desconocida, aunque se conozcan los elementos involucrados, una situación
donde las técnicas parecen no conducir a nada, donde el trabajo a realizar pareceinalcanzable. Y, es, más bien, en este punto en el que surge la necesidad de dar solución. Surge la
desesperación de intentar caminos irrisorios, opciones inicialmente inaceptales, como si la
mente pudiese forzar las bases propuestas, cambiar los rigores de la realidad. Luego, tiempo y
tiempo... y de repente el descubrimiento, haber encontrado, no se sabe de dónde, una manera.
Después se atesora la ideaencontrada, se la repiensa, se la saborea. Queda todavía el requerimiento de comunicarla, de ponerla sobre papel, queda la cuestión estética de escribirla sin
ningún exceso ni ninguna falta.
Carlos E. Gonzales Castellón

ÍNDICE GENERAL

vii

Prefacio
Las Olimpiadas Matemáticas son competencias en el área de la Matemática escolar y colegial, donde
se busca motivar en Matemáticas atravez de la resolución de problemas de Matemáticas “especiales”.
Con “especiales” se quiere caracterizar a los problemas no usuales, aunque en su solución se usen los
conocimientos escolares estandar, la principal característica de este proceso de resolución es el razonamiento, imaginación, intuición geométrica,..., etc, son muchos los temas que el olimpista usa en este
proceso de resolución. ¿Comose puede aprender en este proceso?, la respuesta casi todos la tenemos:
“resolviendo problemas” es que se aprende a resolver problemas, en medio camino se podrá parar, para
aprender Matemáticas ya que la cultura Matemática es imprescindible en este menester.
En nuestro medio tenemos mucho material sobre Olimpiadas Matemáticas (en internet muchísmo más)
sin embargo el nivel de los mismos enmuchos casos no corresponde al nivel de escolaridad o colegiatura
del estudiante de nuestra ciudad y país, entonces una colección de problemas de Olimpiadas Matemáticas
como la que presentamos esta destinada a llenar este vacio, estos han sido tomados de pruebas de las
Olimpiadas Matemáticas: “Gauss”, “Euler” y “Departamental” que realizamos año a año y constituyen
un referente sobre OlimpiadasMatemáticas Nacionales.
Los autores queremos brindar publicamente nuestro agradedimiento a la comunidad Olimpica por
motivarnos con sus problemas, ya que los que presentamos aquí han tenido como inspiración aquellos
y simplemente los hemos tomado, los hemos adecuado, haciendoles algunas ingeniosas variaciones y en
algunos casos son originales, no podemos terminar estas palabras sin agradecer...