jose calvo minimizacion de gasto

LECCION 11.
LA MINIMIZACIÓN DEL
GASTO.

José L. Calvo

LA FUNCIÓN DE DEMANDA
COMPENSADA.
Cantidades que, dados unos precios de los bienes y un
determinado nivel de utilidad que se desea alcanzar,
minimizan el gasto.

Min. p1X1 + p2X2
s.a. U = U(X1,X2)

X11 =
=X
X11(p
(p11,p
,p22,U)
,U)
X
X2 =
=X
X2(p
(p1,p
,p2,U)
,U)
X
2
2
1
2

LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA.
Propiedades (I).
ADITIVIDAD.- LaLa suma
suma de
de las
las funciones
funciones de
de demanda
demanda
ADITIVIDAD.compensadas multiplicadas
multiplicadas por
por su
su precio
precio es
es la
la función
función de
de
compensadas
gasto, que
que es
es igual
igual aa la
la capacidad
capacidad de
de compra
compra del
del individuo
individuo
gasto,
(rentamonetaria).
monetaria).
(renta
(U,pp1,p
,p2))++pp2hh2(U,
(U,pp1,p
,p2))==m
mpp11hh11(U,
1
2
2
2
1
2

HOMOGENEIDAD
HOMOGENEIDAD.-.- Las
Las funciones
funciones de
de demanda
demanda compensadas
compensadas
son
sonhomogéneas
homogéneasde
degrado
grado00en
enlos
losprecios.
precios.
 h
 hi(U,
(U,p
p1,,p
p2))=
=hhi(U,p
(U,p1,p
,p2))
i

1

2

i

1

2

LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA
Propiedades (II).
TEOREMA DE
DE YOUNG
YOUNG.-.- Las
Las derivadas
derivadas cruzadas
cruzadasde
de las
las
TEOREMA
funcionesde
dedemanda
demandacompensadas
compensadasson
sonsimétricas.
simétricas.
funciones
(U,p1,p
,p2)/)/ pp2== hh2(U,p
(U,p1,p
,p2)/)/ pp1
 hh1(U,p
1

1

2

2

2

1

2

1

NEGATIVIDAD
NEGATIVIDAD.-.- La
La matriz
matriz nxn
nxn formada
formada por
por los
los elementos
elementos

h
hi(U,p
(U,p11,p
,p22)/)/ p
pj j i,j
i,j =
= 1,2
1,2 es
es semidefinidasemidefinida negativa,
negativa, lo
lo que
que
i
obliga
obliga aa que
que su
su determinante
determinante sea
sea no
no positivo.
positivo. Esta
Esta matriz
matriz
es
es conocida
conocida como
como la
la matriz
matriz de
de sustitución
sustitución oo matriz
matriz de
de
Slutsky
Slutskyde
derespuestas
respuestascompensadas
compensadasaalos
losprecios.
precios.

ECUACIÓN DE SLUTSKY.
(Una reinterpretación)La
La variación
variación en
en la
la cantidad
cantidad demandada
demandada de
de un
un bien
bien ante
ante una
una variación
variación
de
desu
supropio
propioprecio
preciopuede
puededescomponerse
descomponerseen
endos
dosefectos: 
efectos: 
••

1.
1.     Un
Un efecto
efecto sustitución,
sustitución, que
que varía
varía la
la cantidad
cantidad demandada
demandada del
del
bien
manteniendo
constanteel
nivel
de
utilidad,
aproximado
bien manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado aa
través
travésdel
delcambio
cambioen
enla
lafunción
funciónde
dedemanda
demandahicksiana.
hicksiana.Este
Esteefecto
efecto
sustitución
sustituciónes
esno
nopositivo.
positivo.

2.
2. 2.
2. Un
Un efecto
efecto renta,
renta, igual
igual al
al producto
producto de
de la
la cantidad
cantidad inicialmenteinicialmente
demandada
demandada por
por la
la variación
variación en
en la
la cantidad
cantidad asociada
asociada aa un
un cambio
cambio
en
en la
la renta
renta del
del individuo.
individuo. Este
Este efecto
efecto será
será positivo
positivo si
si es
es un
un bien
bien
inferior
inferioryynegativo
negativosi
sies
esun
unbien
biennormal.
normal.

g1(m,p
(m,p1,p
,p2)/
)/ pp1 =
= h
h1(U,p
(U,p1,p,p2)/
)/  pp1 -g
1
1
2
1
1
1
2
1
X1(g
(g1/m)
/m)
X
1
1

ECUACIÓN DE SLUTSKY (II).
X2

pp1 >>pp0
1
0

m/p2

ES = E0A

A
E1

X11

ER = AE1
E0

X1ES m/p11X10

ET = E0E1

m/p10

X1

LA FUNCIÓN DE GASTO.
El mínimo gasto de alcanzar un determinado nivel de utilidad
dados los precios de los bienes. Se obtiene sustituyendo las
funciones de demanda compensadas en el elemento
minimizador.
 G(p1,p
,p2,U)
,U) =
= pp1 hh1 (p
(p1,p
,p2,U)
,U) +
+ pp2 hh2 (p
(p1,p
,p2,U)
,U)
G(p
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2

LA FUNCIÓN DE GASTO.
Propiedades (I).
HOMOGENEIDAD.-.- La
La función
función de
de gasto
gasto es
es homogénea
homogénea de
de
HOMOGENEIDAD
grado11en
enlos
losprecios.
precios.
grado
 G(U,p
p1,,p
p2))=
= G(U,
G(U,pp1,,pp2))
 G(U,
1
2
1
2

CRECIMIENTO.-.- La
La función
función de
de gasto...