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Ecuaciones

Facultad de Contaduría Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
ECUACIONES
CONCEPTO DE ECUACIÓN
Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones, numéricas o literales, que se
cumple para algún, algunos o todos los valores y se representa por el signo = . Cada una de las
expresiones recibe el nombre de miembro. Sellama primer miembro a lo que está a la izquierda del signo
igual y segundo miembro a lo que está a su derecha.

expresión a = expresión b
Las igualdades pueden ser numéricas (establecen relaciones entre números) o algebraicas (si contienen
literales). Pueden ser ciertas (si se cumplen) o falsas (si no siempre se cumplen).
Ejemplos
1) La igualdad 10 = 8 + 2 es numérica y cierta

2) Laigualdad (a + b ) = a + 2ab + b es algebraica y cierta para cualesquiera valores de a y b .
2

2

2

3) La igualdad 3 x −14 = x es algebraica y cierta para x = 7 , pero es falsa para cualquier otro valor de x .
Por lo tanto, las igualdades pueden ser de dos tipos:
•
•

Identidades. Son igualdades que se verifican siempre, ya sean numéricas o algebraicas.
Ecuaciones. Son igualdades que severifican para algunos valores determinados de las literales
desconocidas llamadas incógnitas.

Ejemplos.

3 1
= es una identidad numérica
6 2
2
2
2) a − b = (a + b )(a − b) es una identidad algebraica
3) 4 x − 2 = 10 es una ecuación que se verifica sólo para x = 3
2
4) x = 4 es una ecuación que se verifica sólo para x = 2 y x = −2 .

1)

En una ecuación, las cantidadesdesconocidas o incógnitas generalmente se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto. Por su parte, las cantidades conocidas o coeficientes
1
normalmente se denotan por las letras minúsculas iniciales del alfabeto .
Las ecuaciones de una sola variable son aquellas que tienen una sola incógnita, normalmente la x . Por
ejemplo: x + 1 = x + 4 .
2

Las ecuaciones en dos o másvariables poseen más de una cantidad desconocida. Por ejemplo, en la
ecuación 2 x + 5 y − 8 = 0 , las incógnitas son x y y .
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente mayor que posea la incógnita.
1

Esta nomenclatura la introdujo el matemático René Descartes en 1637.

1

Ecuaciones

Facultad de Contaduría Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaEjemplos.

6 x − 35 = 7 es una ecuación de primer grado.
3 x 2 + 6 x − 18 = −5 x + 7 es una ecuación de segundo grado.

7 x 3 − 2 x 2 + 5 y − 2 x 3 = 8x − 6 x 2 es una ecuación de tercer grado.
Una ecuación es entera, si todos sus términos son enteros o es racional si alguno de sus términos está
expresado como fracción.
Ejemplos.
1) 4 x − 2 y = 5 − 6 x es una ecuación en dos variables, deprimer grado y entera

3 2
1
x − 5 x = es una ecuación en una variable, de segundo grado y racional
4
2
2
2
x
y
3)
−
= 64 es una ecuación en dos variables, de segundo grado y racional
16 4
4) 7 x − 2 y − 8 z = 11 es una ecuación en tres variables, de primer grado y entera
2)

Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución. Se conocen como raíces o soluciones de la
2
ecuacióna los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad .
Ejemplos.
1) En la ecuación 4 x + 7 = x + 1
El resultado es x = −2 , porque si se sustituye el valor en ambos miembros, cumple la igualdad:

4(− 2 ) + 7 = −2 + 1
− 8 + 7 = −1
− 1 ≡ −1

2) En la ecuación x + x − 12 = 0
Los resultados son x1 = −4 y x 2 = 3 , porque si se sustituyen los valores, cumplen la igualdad:
2Sustituyendo x1 = −4 :

(− 4)2 + (− 4) − 12 = 0

16 − 4 − 12 = 0
0≡0
Sustituyendo x 2 = 3 :

3 2 + 3 − 12 = 0
9 + 3 − 12 = 0
0≡0
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo.
Las ecuaciones 2 x − 3 = 5 y 2 x = 8 son equivalentes porque su solución es x = 4

2

En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se...