Jose

´ Lista A de Fundamentos de Algebra1 1. En los siguientes ejercicios, escriba el n´mero dado en la forma x + iy. u 4+i 2+i 2 3 3 a) (1 − 2i) , b) (1 − i ) , c) 3−i − 1+2i d) (1 − i)(1 − 2i)(1 − 3i)2. Demuestre que si z ∈ C, entonces a) Re(iz)=-Im(z) y b) Im(iz)=Re(z). 3. Demuestre que la ra´ de la ecuaci´n de segundo grado ıces o az 2 + bz + c = 0, son de la forma b z=− ± 2a √ con a = 0, b2 −4ac . 2a

4. En su libro Ars Magna, Girolamo Cardano incluy´ un m´todo para hallar las ra´ de o e ıces la ecuaci´n c´bica o u z 3 + pz 2 + qz + r = 0, que hab´ sido descubierta por Niccol´ Tartaglia.ıa o p Muestre que la sustituci´n w = z + 3 reduce la ecuaci´n c´bica anterior a la forma: o o u w3 + aw + b = 0 . Verifique que las ra´ de la ecuaci´n anterior son: ıces o w = A + B, donde A =
3

−A + B A − B√ + 3i, 2 2
3

−

A + B A − B√ − 3i, 2 2 +
a3 . 27

b − 2 + D, B = A =

b −2 − D y D =

b2 4

5. Halle el valor absoluto, argumento y las representaciones polar yexponencial de los n´meros dados. u a) i b) −i c) 4+3i d) 5 − 12i e) 2 + 7i 6. En los siguientes problemas, use el teorema de De Moivre para expresar cada n´mero u siguiente en la forma x + iy. √ a) (1 + i)29b) (2 + 2i)12 c) (− 3 + i)13 d) (−1 − i)36 e) (10 + 10i)20 . 7. Sea a un n´mero real positivo. Demuestre que la ecuaci´n u o z−1 = a, z+1 representa un c´ ıculo si a = 1 y una recta si a = 1.
1Prof. RCH

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8. Parta del hecho que 52 = 42 + 32 y 62 = 52 + 32 para encontrar dos enteros positivos m y n tales 302 = m2 + n2 . √ √ √ 9. En los n´meros reales positivos sabemos que ab = a b.Encuentre el error en la u siguiente afirmaci´n: o −1 = i2 = i · i = entonces −1 = 1. 10. Para cualquier n´mero real x, sabemos que x2 = |x|2 ¿Ser´ cierto que z 2 = |z|2 para los u a complejos? Explique11. ¿Ser´ cierto que (z 4 )1/2 = z 2 ? Explique a 12. Use el resultado del ejercicio 3 para hallar todos los z tales que a) z 2 (1 − z 2 ) = 16 b) 3z 2 + 6iz + 3 = 0. 13. Use el teorema del binomio...