Josiah Willard Gibbs




FENOMENO DE GIBBS.

En matemáticas, el fenómeno de Gibbs, descubierto por Henry Wilbraham y redescubierto por J. Willard Gibbs, es la forma peculiar en que la serie de Fourier de una función periódica continuamente diferenciable a trozos se comporta en una discontinuidad de salto: la suma parcial n-ésima de la serie de Fourier tiene grandes oscilaciones cerca del salto, lo que podríaaumentar el máximo de la suma parcial por encima de la de la propia función. El exceso no muere a medida que aumenta la frecuencia, pero se acerca a un límite finito.
Estas son una de las causas de zumbido en los artefactos de procesamiento de señales.

DESCRIPCIÓN.
El fenómeno de Gibbs implica tanto el hecho de que de Fourier resume sobreimpulso en una discontinuidad de salto, y que esteexceso no se termine, al aumentar la frecuencia.
Más precisamente, esta es la función donde esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura a cada múltiplo de número entero.
Cuando el número de términos se eleva, se reduce el error de la aproximación de ancho y energía, pero converge a una altura fija. Un cálculo de la onda cuadrada da una fórmula explícita para el límite de laaltura del error. Resulta que la serie de Fourier excede la altura de la onda cuadrada alrededor de un 9%. Más en general, en cualquier punto de una función continuamente diferenciable a trozos con un salto de un salto, la serie n-ésimo parcial de Fourier es excesiva este salto en aproximadamente en un extremo y que no alcancen por la misma cantidad en el otro extremo, por lo que el "salto" en laserie de Fourier parcial será de aproximadamente 18% más grande que el salto en la función original. En el lugar de la propia discontinuidad, la serie parcial de Fourier convergerá en el punto medio del salto. La cantidad es a veces conocida como la constante Wilbraham-Gibbs.

HISTORIA
El fenómeno de Gibbs se notó por primera vez y fue analizado por Henry Wilbraham; quien publicó un artículo sobreel mismo en 1848 y pasó desapercibido por el mundo matemático. Albert Michelson desarrolló un dispositivo en 1898 que podría calcular y volver a sintetizar la serie de Fourier. Un mito muy difundido dice que cuando los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada se introdujeron a la máquina, el gráfico osciló en las discontinuidades, y que por tratarse de un dispositivo físico sujeto adefectos de fabricación, Michelson fue convencido de que el exceso se debió a errores en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos para exhibir el fenómeno de Gibbs con claridad, y Michelson no pueden haber notado que no hizo mención de este efecto en su artículo sobre su equipo o sus cartas posteriores a la Naturaleza. Inspirado por una ciertacorrespondencia en la naturaleza entre Michelson, en 1898 J. Willard Gibbs publicó una breve nota en la que se considera lo que hoy se llamaría una onda de diente de sierra y señaló la diferencia entre el límite de las gráficas de las sumas parciales de la serie de Fourier y la gráfica de la función que es el límite de las sumas parciales. En su primera carta Gibbs no se dio cuenta del fenómeno deGibbs, y el límite que se ha descrito para las gráficas de las sumas parciales es inexacta. En 1899 se publicó una corrección en la que describía el exceso en el punto de discontinuidad. En 1906, Maxime Bocher hizo un análisis matemático detallado de ese exceso, que él llamó el “Fenómeno de Gibbs".

EXPLICACIÓN
Informalmente, que refleja la dificultad inesperada en la aproximación de una funcióndiscontinua por una serie finita de ondas: sinusoidal continua y coseno. Es importante poner énfasis en la palabra finita, porque a pesar de que cada suma parcial de la serie de Fourier rebasa la función que se va aproximando, el límite de las sumas parciales no. El valor de x donde se consigue el sobrepaso máximo mueve más y más a la discontinuidad, de nuevo de manera informal, una vez que el...