Jovanna

Matemáticas CCSS II

Sistemas

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Sistemas de ecuaciones lineales
CTJ05

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y z 1 2x 3y 4z 9 x y z 1 Solución: Lo resolvemos por el método de Gauss.
x y z 1 2x 3y 4z 9 x y z 1 x E 2 2 E1 E 3 E1 y z 1 y 6z 7 2y 2

x 1 1 1 1 6z 7 y 1

x 1 z 1

La solución es: x = 1; y = 1; z = 1.

José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)Matemáticas CCSS II

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GAJ05

2. Un fabricante produce tres artículos diferentes (A, B y C), cada uno de los cuales precisa para su elaboración tres materias primas (M1, M2, M3). La siguiente tabla representa el número de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto: Productos B 1 2 2

Materias primas

M1 M2 M3

A 2 3 1

C 3 2 4Se dispone de 50 unidades de M1, 70 unidades de M2 y 40 unidades de M3. a) Determina las cantidades de artículos A, B y C que produce dicho fabricante. b) Si los precios de venta de cada artículo son, respectivamente, 500, 600 y 1000 euros y gasta en cada unidad de materia prima 50, 70 y 60 euros, respectivamente, determina el beneficio total que consigue con la venta de toda la producciónobtenida (utilizando todos los recursos disponibles). Solución: Sean x, y, z las cantidades producidas de A, B y C, respectivamente. Con los datos dados en 2 x y 3 z 50 3 x 2 y 2 z 70 la tabla se tiene el sistema: x 2 y 4 z 40 Lo resolvemos por Gauss: 2 x y 3 z 50 3 x 2 y 2 z 70 x 2 y 4 z 40

E1 2 E 3 E 2 3E 3

3 y 5z 30 4 y 10 z 50 x 2 y 4 z 40

E 2 2 E1

3 y 5z 30 2 y 10 x 2 y 4 z 40

Dela segunda ecuación se obtiene: y = 5. Sustituyendo en la primera y tercera ecuaciones: z = 3 y x = 18. b) Si hace 18 unidades de A, 5 de B y 3 de C, y los vende, tiene unos ingresos por venta de: I = 18 · 500 + 5 · 600 + 3 · 1000 = 15000 euros. Los gastos totales son: G = 50 · 50 + 70 · 70 + 60 · 40 = 9800 euros. El beneficio será de 15000 9800 = 5200 euros.

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MAJ05

3. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: 2x 3y z 0 x ky 3 z 0 5x 2 y z 0 Se pide: (a) Discutir el sistema para los distintos valores de k. (b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible. Solución: (a) Al tratarse de un sistema homogéneo siempre será compatible:determinado, con solución única, x = y = z = 0 cuando el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0; indeterminado, con infinitas soluciones, cuando ese determinante valga 0.
2 El determinante de la matriz de coeficientes es 1 5 3 k 2 1 3 1

7k

56 .

Valdrá 0 si k = 8. Será distinto de 0 cuando k 8. En consecuencia: Si k 8 el sistema será compatible determinado. Si k = 8, serácompatible indeterminado. (b) Si k 8, como ya hemos dicho, la única solución es la trivial.

Si k = 8 el sistema queda:
2x 3y z x 8 y 3z 5x 2 y z 0 0 0

(puede verse que E3 = 2E1 + E2)

2x 3 y z x 8 y 3z

0 0

2x 3y z x 8 y 3z
19y = 7z
y

2x 3 y 2 x 16 y
7 z 19 x

z 6z 1 z 19

(sumando)

x t Llamando z = 19t se tendrá: y 7t z 19t

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RMJ05

4. Estudiar para qué valores de k es compatible el sistema siguiente: 2x y 4 1 x y 2 2 x ky 2 Resolverlo para los valores de k que lo hacen compatible indeterminado. Solución: Si multiplicamos la segunda y tercera ecuación por 2 queda:

2x

y 4 1 x y 2 2 x ky 2

2x y 4 2x y 4 (Como E1 = E2) 2 x 2ky 4

2x y 4 2 x 2ky 4

(RestandoE2

E1)

E 2 E1 :

2x y 4 (2k 1) y 0

Como 2k + 1 = 0 si k = 1/2, se tendrá: Si k 1/2, el sistema es compatible determinado. Su solución única es: x = 2, y = 0 y = 4, cuya

Si k = 1/2, el sistema es compatible indeterminado, equivalente a 2x x t solución es: y 2t 4

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IBS05

5. Tres hermanas,...