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Alumna: Gicella Véliz Tapia
Profesor: Alejandro Rodríguez
Fecha: 03 de octubre de 2012

SOLUCIONES PRACTICO 2

1.
a) Esperanza de .

Se tiene:



Dado que X cumplen las condiciones para que el proceso sea estacionario,se tiene que: (cte.) y , por tanto:




b) Varianza de .

Al igual que en a), por ser un proceso estacionario, se tiene que: y , por tanto:





c) Esperanza de condicionada a la información hasta .

Debido a que se pide la esperanza condicionada a la información hasta t-1, esto es que se pide la esperanza de dado que se conoce la información hasta t-1, es decir,se conoce la información de t-1 y t-2.

Esto es :


Recordemos que:
y además como conocemos el verdadero valor de y entonces, y :



d) Varianza de condicionada a la información hasta .
De a) se tiene que y del ejercicio anterior que:
y , además que , por tanto:



2.
a) Se tiene:
(1)
, donde es un proceso estacionario con y es unruido blanco.

Así, como (1) es una igualdad , podemos restar a ambos lados y la nueva expresión sería equivalente, esto es:



Sustituyendo:



b) Sea una variante de (1) , con constante distinta de cero.

Para que sea estacionario, en primer lugar su esperanza debe ser constante, además las esperanzas de todas las observaciones han de ser iguales, esto es y Además,es un ruido blanco, luego:





, en la expresión de , es variable, ya que depende del tiempo, por tanto, , variante de (1), no es estacionario.

3.
Dado el correlograma:


















Se observa, por la FAC una serie sin tendencia que oscila en torno a una media constante, pero que alternan valores con observaciones sucesivas a diferentes lados de lamedia general y que tiende a cero. Por otro lado, por la FACP se observan tres observaciones significativamente distintas de cero, por lo que se puede inferir que es un proceso AR3 estacionario.

Ahora, al observar las salidas de GRETL con los modelos propuestos, se descarta el modelo 2, pues en este se observa un proceso AR2 y que no cumple con las condiciones de estacionariedad debido al valordel .

Respecto al primer modelo, se observa un proceso AR3 estacionario, pues los módulos de los tres phi son menores que 1. Del mismo ocurre con el módulo de las raíces, decir, son mayores que uno. En cuanto a las innovaciones parecen ser ruido blanco , ya que la media es aprox. cero (cte) y varianza aprox. uno. Por lo tanto, el modelo expuesto en la primera tabla corresponde al correlogramaen cuestion.




4.
a) Serie: Datos P2 2 X1.zip

Al graficar los datos de la serie, se observa una aparente estacionariedad, lo cual se confirma al estudiar su correspondiente correlograma, del cual en la FAC se observa una serie sin tendencia y que oscila en torno a una media constante, pero cuyas observaciones están correlacionada positivamente y tendiendo a cero. Respecto a lainformación proporcionada por FACP, hay dos observaciones significativamente distintas de cero, por lo que a simple vista se podría intuir una modelización por medio de un proceso AR2.















De acuerdo a lo anterior, la salida en GRETL sería:


Como puede observarse, el modelo entregado es un AR2 estacionario, pues el módulo de las raíces es mayor que uno, ocurriendo situaciónsimilar con los de phi, es decir, menor que uno.
Por otro lado, las innovaciones (residuos) parecen ser normales, pues la media y la varianza son aparentemente constantes, cero y uno respectivamente, lo cual se verifica con su gráfica y más aún con su correspondiente correlograma:














Finalmente, a partir de la grafica de la variable observada v/s estimada se observa...