Juan

L´ ımites y continuidad Diferenciabilidad Extremos de funciones en varias variables

C´lculo en varias variables a

Dpto. Matem´tica Aplicada a Universidad de M´laga a

andaluciatech

M. Atencia & I. P. Cabrera

C´lculo en varias variables a

L´ ımites y continuidad Diferenciabilidad Extremos de funciones en varias variables

Funciones de varias variables L´ ımites y continuidad envarias variables

Resumen
1

L´ ımites y continuidad Funciones de varias variables L´ ımites y continuidad en varias variables Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial Extremos de funciones en varias variables Optimizaci´n sin restricciones o Multiplicadores de Lagrange

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L´ ımites ycontinuidad Diferenciabilidad Extremos de funciones en varias variables

Funciones de varias variables L´ ımites y continuidad en varias variables

Motivaci´n o

Conceptos matem´ticos a Funciones t sen w t − w w2 Continuidad, l´ ımite, ... x(w , t) = Derivada, aproximaci´n lineal, ... o Integral, volumen, ...

Mundo real

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Conceptos matem´ticos a Funciones t sen w t − w w2 Continuidad, l´ ımite, ... x(w , t) = Derivada, aproximaci´n lineal, ... o Integral, volumen, ...

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Motivaci´n o

Conceptos matem´ticos a Funciones t sen w t − w w2 Continuidad, l´ ımite, ... x(w , t) = Derivada, aproximaci´n lineal, ... o Integral, volumen, ...

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Definici´n de funci´n o o
Rn ⊃ A: Dominio R ⊃ B: Imagen f :A→B z = f (x, y ) Definici´n o Una funci´n f asigna exactamente un elemento z de B a cada o elemento (x, y ) de A.Ejemplos f (x, y ) = x y 2 f (x, y ) = x 2 − e y
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f (x, y , z) = x y 2 cosz f (x, y , z) = 3 z x 2 − e y
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Dominio de una funci´n o
Definici´n o El dominio esel (m´ximo) conjunto A ⊂ Rn tal que la funci´n a o f : A → B est´ definida. a Ejemplo: f (x, y ) = 4 − (x 2 + 4 y 2 )

x 2 > 4 =⇒ 4 − (x 2 + 4 y 2 ) < 0 y 2 > 1 =⇒ 4 − (x 2 + 4 y 2 ) < 0 ¿ A = [−2, 2] × [−1, 1] ?
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Dominio de una funci´n o
Definici´n o El dominio es el (m´ximo) conjunto A ⊂ Rn tal que la funci´n a o f : A → B est´ definida. a Ejemplo: f (x, y ) = 4 − (x 2 + 4 y 2 )

x 2 > 4 =⇒ 4 − (x 2 + 4 y 2 ) < 0 y 2 > 1 =⇒ 4 − (x 2 + 4 y 2 ) < 0 ¿ A = [−2, 2] × [−1, 1] ?
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Gr´fica de una funci´n a o
Definici´n o La gr´fica de una funci´n f : A ⊂ Rn → B es el conjunto de a o puntos (x1 , x2 , . . . xn , y ) ∈ Rn+1 con y = f (x1 , x2 , . . . xn ). Ejemplo con n = 2:

f (x, y ) = 4−(x 2 +4 y 2 )...